考研数学考试用书中公2018考研数学15年真题详解及解题技巧数学一 在线下载 pdf mobi 2025 epub 电子版

《中公版·2018考研数学：15年真题详解及解题技巧（数学一）》包含2003～2017年共15年的真题。每套题均由试题和参考答案及解析组成，且每道题目都配有二维码，考生可扫码观看视频讲解。大部分真题的参考答案包含“【思路点拨】

【解析】

【考点重现】”三个部分：【思路点拨】是对本题解析过程的浓缩和同类型题目解答思路的总结；【解析】给出了题目的详细解答，某些题目给出了多种解题方法；【考点重现】对本题所涉及的知识点做了简单的总结，包括重要的计算公式、定理等。

一、考试形式和试卷结构分析

二、历年真题题型、题量分析

三、历年真题考点分析

考研数学备考手册

一、考研数学备考三阶段

（一）阶段——基础复习

（二）第二阶段——强化提高

（三）第三阶段——考前冲刺

二、考研数学临场应战技巧

（一）合理控制时间分配，有取有舍

（二）妥善安排解题顺序，先易后难

（三）看清题干，注意条件（12）

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　　2015年全国硕士研究生招生考试

　　数学（一）试题

　　(科目代码:301)

　　题型填空题选择题解答题分值24分24分102分自测分2003年全国硕士研究生招生考试

　　数学（一）试题

　　视频讲解

　　一、填空题:本题共6小题，每小题4分，满分24分。把答案填在题中横线上。

　　（1）limx→0(cosx)1ln(1+x2)=。

　　视频讲解

　　（2）曲面z=x2+y2与平面2x+4y-z=0平行的切平面的方程是。

　　视频讲解

　　（3）设x2=∑∞n=0ancosnx(-π≤x≤π)，则a2=。

　　视频讲解

　　（4）从R2的基α1=1

　　0,α2=1

　　-1到基β1=1

　　1,β2=1

　　2的过渡矩阵为。

　　视频讲解

　　（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=6x,0≤x≤y≤1,

　　0,其他,则P{X+Y≤1}=。

　　视频讲解

　　（6）已知一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(μ,1)，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40(cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是。

　　(注：标准正态分布函数值Φ(1.96)=0.975,Φ(1.645)=0.95)

　　二、选择题:本题共6小题，每小题4分，满分24分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

　　视频讲解

　　（1）设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有()

　　(A)一个极小值点和两个极大值点。

　　(B)两个极小值点和一个极大值点。

　　(C)两个极小值点和两个极大值点。

　　(D)三个极小值点和一个极大值点。

　　视频讲解

　　（2）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且limn→∞an=0,limn→∞bn=1,limn→∞cn=∞,则必有()

　　(A)an

　　(C)极限limn→∞ancn不存在。(D)极限limn→∞bncn不存在。

　　视频讲解

　　（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limx→0,y→0f(x,y)-xy(x2+y2)2=1，则()

　　(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点。

　　(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点。

　　(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点。

　　(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点。

　　视频讲解

　　（4）设向量组（Ⅰ）：α1,α2,…,αr可由向量组（Ⅱ）：β1,β2,…,βs线性表示，则()

　　(A)当r

　　(B)当r>s时，向量组（Ⅱ）必线性相关。

　　(C)当r

　　(D)当r>s时，向量组（Ⅰ）必线性相关。

　　视频讲解

　　（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为m×n矩阵，现有四个命题：

　　①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；

　　②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；

　　③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；

　　④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解。

　　以上命题中正确的是()

　　(A)①②。(B)①③。

　　(C)②④。(D)③④。

　　视频讲解

　　（6）设随机变量X~t(n)(n>1),Y=1X2，则()

　　(A)Y~χ2(n)。(B)Y~χ2(n-1)。

　　(C)Y~F(n,1)。(D)Y~F(1,n)。

　　三、（本题满分10分）

　　视频讲解

　　过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D。

　　(Ⅰ)求D的面积A；

　　（Ⅱ）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V。

　　四、（本题满分12分）

　　视频讲解

　　将函数f(x)=arctan1-2x1+2x展开成x的幂级数，并求级数∑∞n=0(-1)n2n+1的和。

　　五、（本题满分10分）

　　视频讲解

　　已知平面区域D={(x,y)0≤x≤π,0≤y≤π}，L为D的正向边界。试证：

　　(Ⅰ)∮Lxesinydy-ye-sinxdx=∮Lxe-sinydy-yesinxdx;

　　（Ⅱ）∮Lxesinydy-ye-sinxdx≥2π2。

　　六、（本题满分10分）

　　视频讲解

　　某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层。汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功。设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）。汽锤次击打将桩打进地下am。根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数r(0

　　（Ⅱ）若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？

　　（注：m表示长度单位米。）

　　七、（本题满分12分）

　　视频讲解

　　设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数，且y′≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。

　　(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程d2xdy2+(y+sinx)dxdy3=0变换为y=y(x)满足的微分方程；

　　（Ⅱ）求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y′(0)=32的解。

　　八、（本题满分12分）

　　视频讲解

　　设函数f(x)连续且恒大于零，

　　F(t)=Ω(t)f(x2+y2+z2)dvD(t)f(x2+y2)dσ，G(t)=D(t)f(x2+y2)dσ∫t-tf(x2)dx，

　　其中Ω(t)={(x,y,z)x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x,y)x2+y2≤t2}。

　　(Ⅰ)讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;

　　（Ⅱ）证明当t>0时，F(t)>2πG(t)。

　　九、（本题满分10分）

　　视频讲解

　　设矩阵A=322

　　232

　　223，P=010

　　101

　　001，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

　　十、（本题满分8分）

　　视频讲解

　　已知平面上三条不同直线的方程分别为

　　l1:ax+2by+3c=0，

　　l2:bx+2cy+3a=0，

　　l3:cx+2ay+3b=0。

　　试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

　　十一、（本题满分10分）

　　视频讲解

　　已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：

　　(Ⅰ)乙箱中次品件数的数学期望；

　　（Ⅱ）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。

　　十二、（本题满分8分）

　　视频讲解

　　设总体X的概率密度为f(x)=2e-2(x-θ),x>θ,

　　0,x≤θ,其中θ>0是未知参数。从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,…,Xn，记θ^=min{X1,X2,…,Xn}。

　　(Ⅰ)求总体X的分布函数F(x);

　　（Ⅱ）求统计量θ^的分布函数Fθ^(x)；

　　（Ⅲ）如果用θ^作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。2003年全国硕士研究生招生考试

　　数学（一）试题参考答案及解析

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  安排不错 一个故事 一些启示

• 波波的书，攒~

  作者：sammy0714 发布时间：2009-11-17 09:08:18

  在印象当中，从来没有一本很系统的书概括了上海一些土话，波波的《诙词典》是第一本。书中的土话有些现在还常用，有些也只是儿时听父母那辈子说过。

  书里面说的所有短语和词汇，我大致都知道。不过又有一丝小小的担忧。我们的下一辈是不是连上海话都说不来了呢，何况是这些经典的老话呢。我小侄女就根本说不来上海话，幼儿园上课老师也是一口普通话，经常被我笑话为“小硬盘”。

  现在硬盘人在上海“狠三狠四”的，很多老师也都是硬盘人，这势必会影响上海话的传播和继承，真希望波波这本书里面的话能够继承，至少要被下一辈知晓，毕竟上海话也是这个城市特有的文化遗产嘛。

  ps，给书提个小小建议，就是序写得太长，而且写得不好。感觉他余秋雨功劳最大，发现这样一个人才似的，很做作。

• 《马背上的水手-杰克.伦敦传》：有个不靠谱的妈妈是种怎样的无奈？

  作者：开元谆语 发布时间：2022-07-26 16:19:43

  

  杰克.伦敦，美国现实主义作家，曾写下了19部长篇小说，150多篇短篇小说和3部剧本，是当时世界上收入最多、名气最大、声望最高的作家，被认为是美国

  无产阶级文学

  之父。

  我们经常能够听到这么一句话：

  每个成功人士背后，都离不开一位优秀的母亲。

  从这句话之中我们可以感受到，一个母亲对孩子的影响是非常大的。

  一个优秀的母亲能够给孩子带来良好的影响，助力于他成功，成就他的梦想，让他长大以后拥有一番事业，成为人上人。

  杰克.伦敦无疑在事业上是成功的。

  可是，在生活上却未必，毕竟，他婚姻不幸福，身体也失去了健康，还早早就失去了生命。

  他才仅仅活了四十年。到今天为止，他离开我们已经整整106年了。

  而我看完书一直在想的是，如果他的母亲不是那么不靠谱的话，他是否可以不用英年早逝？

  1.

  母爱的本质之一，就是接触性关怀——拥抱，抚摸和亲昵。

  《巴甫洛夫的狗：改变心理学的50个实验》中有个实验，有一只铁丝做的但有奶的猴妈妈，还有一只没有奶但是绒布做的猴妈妈，小猴子饿了只是把头伸去铁丝母猴那里吃奶，而身体依然抱着没有奶水的绒布母猴。当外形恐怖的蜘蛛被放进笼子，小猴感受到恐惧后，紧紧抱住绒布母猴。当拿掉绒布母猴，笼子里只剩下铁丝母猴的时候，小猴子即使再害怕，也不会跑到铁丝母猴的怀里。

  

  哈洛经过如上的一系列实验，得出结论：

  爱，源自接触，而不是食物。母爱的本质之一，就是接触性关怀——拥抱，抚摸和亲昵。

  杰克.伦敦的母亲虽然说自己一生的巨大愿望是做母亲，并且在怀了杰克之后不顾万险千难生下了他，但是却一点也不喜欢作母亲的职务。

  她浮躁、多愁善感、喜怒无常，成天忙于她的音乐、演讲和降神，没有时间注意她的孩子，使孩子患了胃病，不得已只好找了个奶妈，叫珍妮。

  平时照顾孩子的责任全部是杰克异父异母的姐姐伊丽莎，甚至在她上学时不得不带他去学校上课。

  杰克和伊丽莎都患了流行病白喉，处于濒死状态时，其母亲不是想着为孩子们去找医生，却在寻思着是否能把俩孩子装在一个棺材里埋掉意图省钱。要不是继父约翰.伦敦四处奔波为孩子们找来能医治白喉的著名医生，这俩孩子就全死翘翘了。

  杰克在厨房玩耍时不小心摔倒导致前额磕破，姐姐当时用蛛网把伤口填满，用焦油糊起来，然后继父给他用绷带裹起来，带他于周六去看戏，可是到了第二个周六，杰克的妈妈就不准杰克带绷带去了，要求他们要不就留在家里，要不就把痂子揭掉。

  为了看戏，姐姐只好给杰克揭掉了痂子，于是杰克的前额上永远留下了那个疤。

  可以说，孩子未曾感受过母爱，所得到的爱全部来自于自己的这个姐姐及奶妈珍妮。

  

  著名育儿专家曾经说过：

  与其给予孩子更好的物质条件，不如给予他们更用心的陪伴。对于孩子来说，陪伴胜过一切。妈妈在孩子成长的过程当中，不要缺席孩子的成长，要多用心去陪伴他们。一个用心陪伴孩子的母亲，才能成为一个精神富足的母亲。

  很悲催的是，我们的小杰克不仅没有从母亲那里得到好的物质条件，也未能从她那里得到用心的陪伴。

  这个把他生成私生子的母亲，剥夺了他应享的慈爱，用贫穷、痛苦、纷乱做他幼年的药石。

  莫名其妙使自己孩子成了私生子，又从来不确定告诉儿子其生父是谁，导致儿子心里一直自卑。

  小时候，妈妈的存在，是孩子的全世界。等孩子渐渐长大，羽翼渐丰，渴望探索外面的世界，此时妈妈的存在感，决定孩子的未来。

  可是，当杰克长大，妈妈还是不管他的，因为她收养了一个儿子，把全身心的爱都给了那个孩子。

  虽然是她引导杰克写了第一篇文章参赛并得了奖，也是她在杰克纠结是否全职写作还是去邮局工作的时候给了杰克决定性的支持，但所有这一切并不是出自于真心疼爱儿子或者相信儿子，而只是为了证明她自己是正确的而已。

  反而，她自己到杰克这里来找寻“存在感”了。

  杰克结婚时，母亲认为她的儿子抛弃了她，愤怒得不肯参加婚礼。

  她痛恨新媳妇抢走了她的儿子和她的地位，于是对儿媳妇百般刁难，不断和媳妇争吵，尽可能使她不快活，常常打断杰克的构思。

  老年的母亲更加胡闹了，虽然吃住不愁，儿子还每个月给她足够的零用，她却到处跟邻居们去说儿子不养她，所以她要靠卖面包来维持生活，使得邻居们对她大为怜悯。

  杰克从做生意的角度劝服她放弃面包生意后，她又开了个报摊，被杰克拦下以后，她又开始疯狂购物，买一些她用不上的东西，让收账的人去找杰克。

  不管是小时候，还是长大成名之后，杰克一直都没有很轻松过。由于他母亲没有责任心，他不得不落入贫穷的深渊。

  他一直在孤立无援地向上奋斗。

  成名后的他虽然身边围着若干朋友和亲眷，西方世界到处有千千万万的崇拜者，但是，他却感到极端的孤独。

  这和他母亲是有很大关系的。

  而我们，作为母亲，要如何温柔地守护住孩子的心呢？这要求我们：

  首先，在孩子刚出生时给予陪伴，塑造孩子的安全感和幸福感；

  其次，在有自己事业的同时，业余时间多看书、多学习，跟孩子多探讨，用行动感染和影响孩子；

  然后，在孩子成长过程中出现问题或错误时要给予孩子信任、爱和希望，慢慢引导和帮助孩子。

  2.母亲是家庭的灵魂

  

  台湾大学心理学教授洪兰说：

  “母亲是家庭的灵魂。”

  母亲要做好这个灵魂的作用，还真的需要一些智慧的。

  而偏偏，杰克的母亲是没有智慧的，“是个矮小、丑陋、强壮的女人”，她关心的只是她的音乐、演讲和降神，总是自以为聪明，各种“作”地想让家庭更有钱，却总是把家里折腾得乱七八糟、乌烟瘴气。

  话说俩孩子白喉好后迁到了奥克兰，其母亲整天不着家，计划做可获暴力的生意来补助约翰.伦敦的零星收入。

  约翰开了个杂货店，并且生意日渐兴隆起来。她又不满足了，因为她觉得他们的发展不够快。

  她把约翰介绍给一个名叫斯托威尔的人，劝丈夫把铺子的股份卖给他一半，以便他们推广生意，赚钱更快，然后合伙租了一所现代化的大房子。

  铺子是扩大了，生意大到约翰不得不把所有的时间用在到乡间办货上，而斯托威尔经管铺子和收入的钱。

  然后有一天约翰办货回来，发现他的铺子完全空了；斯托威尔已经把所有的货物和装置卖掉，带了现款潜逃了。

  约翰又一度失败后，只好恢复了他唯一心爱的职业，种田。

  他在一个农场租了二十亩地种玉米和蔬菜供给市场，本来可以从这上面获得成功，可是杰克妈妈并不是一个安稳度日的人。

  她常以聪明女人自豪，常想凭着新的冒险赚钱，其中有彩票和证券。

  因此，约翰赚的钱总是不知道去了哪里。

  此外，她主张家里的每一件事都由亡魂指导，总是把一群一群的降神家请到家里来。

  这使得杰克经常神经过敏，有时临近危险的程度。

  在农场本来生活不错，可是不久他们就放弃了农场，搬到了另外一个地方去养马，种马铃薯。

  而这，少不了又是妈妈的作用，要不就是她用暴利的养马计划鼓动约翰，要不就是她又忘记了还账，导致他们不得不离开那里。

  在这里，杰克度过了他童年最寂寞的一年，也是他最饥饿的时期。

  杰克八岁时，继父又以分期付款的办法买了一个八十七英亩的农场，不久后又建立起优良蔬菜生产者的声望，前途原本很光明。

  可是，杰克的母亲又不满意他们那进展的速度，又想出了一个营业的计划，让完全不懂养鸡的约翰开办养鸡场。

  于是，约翰把农场的财产抵押出去，建筑起大量的鸡栏和暖气孵鸡室。

  然后，一场流行病杀掉了大部分鸡，剩下的也不肯下蛋了。

  银行取消了赎取抵押品的权利，于是一家人又流落街头，并且在以后的十三年都处于贫困和失败中。

  家庭不断地失败和逃亡，以及在降神会上感受到的恐怖，还有来自双亲某种病态的遗传，都使得杰克神经过敏，羞怯，谦逊。

  心理学博士、脑科学家洪兰从科学的角度阐明：

  母亲快乐全家快乐，母亲焦虑全家焦虑。母亲温和慈祥，情绪稳定，孩子就乐观容易成功；母亲喜怒无常，孩子就会恐惧担忧。

  杰克的母亲带给家庭的没有快乐，只有焦虑。

  所以，杰克和继父对于母亲给这个家庭带来的损害既然没有力量伸冤，就只有尽可能避开。

  所以，对于我们做母亲的来说，

  即便我们面对现代社会各种压力，我们也一定要保证自己的身心健康，增强抗压能力，控制自己的心情，把自己的坏情绪赶走，做一个内心富足的女人，让孩子拥有温柔健康的母爱，拥有舒适和幸福的家庭环境。

  3.

  童年阴影对婚姻的影响

  

  杰克在自己的笔记中，写到一个六岁的孩子偷听到杂货店后的争论。在那场争论中，父亲责备母亲不应该有私生子，母亲哭着为自己辩护道：“我是那么年轻，他答应给我一个美满的生活。”

  这个六岁的孩子当然就是杰克他自己。

  对于那么小的孩子来说，这场谈话无疑是非常可怕的。

  虽然继父很不错，他也很爱继父，可谁能接受自己是一个私生子呢？

  更何况，生父还极力拒绝承认他的身份，理由就是杰克的母亲同其他男人关系不明。

  因为这样，所以杰克后来结婚时才会一时冲动地娶了贝西·玛德恩。

  他们彼此并不相爱，结婚时各自心里都有爱的人，但是他们觉得需要建立一个稳定的家庭，养育优秀的孩子们。

  也正因为如此，所以后来杰克思想上和肉体上先后出轨并且导致家庭解体，也就不难理解了。

  父母的婚姻状态健康快乐，家庭氛围和谐温暖，孩子也会拥有正确的婚姻观，充满自信，精神富足。反之，就会影响孩子的健康成长，给未来带来不可期的遗憾。

  当然，即便父母婚姻不顺，孩子也是可以获得婚姻幸福的。这就需要那些对婚姻有阴影的人敢于正视过去，与原生家庭和解，摒弃不幸的婚姻状态，积极从身边找到拥有幸福婚姻的榜样，按照既定目标和方向走向婚姻，重获新生。

  4.

  写在最后

  如果杰克的母亲当年不是因为年轻任性就怀孩子，不是因为自己作风不正而导致孩子生父不认孩子，如果能够在嫁给杰克继父后勤勉实在过日子，一家人幸福快乐，杰克又何至于终生受累并且家庭生活不幸福呢？

  虽然不能确认杰克是否是自杀，但他去世前的那段日子身患重疾，眼睛失去了光彩，竭力以酒浇愁，在公众场合发酒疯，这都是因为脑筋在写作方面消耗得太过，他的精神一直在重重重压之下，他自己都害怕有一天会崩溃。

  这归根结底是他一直在迫使自己奋力前行，目的就是为了让这个被母亲折腾坏的家庭好起来。

  愿天堂里的杰克能够随心而动只为了写作而写作，不用再为了养家、生活而痛苦。