门萨数学谜题（聪明人喜欢挑战的脑力游戏；读完这本书，您也有机会成为高智商俱乐部——门萨俱乐部的一员！门萨官方授权，全彩印刷，原版大开本） 在线下载 pdf mobi 2025 epub 电子版

谜题的历史和人类历史一样悠久。我们的大脑就是以解决谜题的方式来思考的。事实证明，谜题是锻炼人类心智不可或缺的一部分，解谜更是一件益事。本书包含一百五十道数学谜题，由门萨俱乐部专家设计。要解决这些谜题，您需要具备阅读、书写、计算和推理能力，许多专家称此为“纯粹的”智商测试。

快来挑战自己吧！看看您到底有多聪明！我们始终欢迎新成员携他们的新思路融入到我们的高智商群体中！读完这本书，或许您会发现自己的智商已排入全世界前2%了！

目录

谜  题     1

 答  案     99

  解谜笔记   124

英国门萨有限公司，汇集了门萨脑力训练与开发作家，著有多部门萨系列畅销著作。

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编辑推荐

“门萨”是世界高智商俱乐部的名称。

它拥有十万多名会员，遍及全球四十多个国家。

任何智力测试得分在世界人口前2%的人都有资格成为门萨俱乐部的一员——您是我们一直在寻找的那“2%”吗？

前言

导言

谜题的历史和人类历史一样悠久。这是肯定的，我们的大脑就是以解决谜题的方式来思考的。我们的眼睛观察到的是周围世界的各个组成部分，大脑把各部分整合在一起，作为整体来理解。我们把每个部分与我们熟知的事物，从形状、大小、色彩、质地方面进行比较，并把它们归入大脑中已有事物的类别。同时我们还关注其周边的事物，并检测我们所知道的情况，根据我们的理解为其赋予背景。通过这种关联思维，我们便能理解新事物，从而理解当下的世界。也许我们之前从未见过落叶松，但仍能认出它是一棵树。大多数时候，只要知道基本类别就够了，但每当我们思考一个事物时，总要通过相互参照、分析，终得出结论——这就是解决谜题的过程。

这种逻辑分析推理能力是我们大脑这座“兵工厂”里威力的武器之一，另外还有创造力和横向思维能力。如果没有逻辑推理能力，世界上就没有科学，数学就仅仅是记个数。我们可以摆脱愚昧，但是在智力上并不会有多大的发展。

此外，我们不自觉地把自己与他人进行比较，也会在大脑中与其他事物进行比较。这种比较的目的是明白我们自己所处的位置。因此，我们本能上就渴望竞争，与好的自己竞争，也与他人竞争。通过锻炼身体、突破个人局限可增强人生体验、身体灵活性和力量，思维训练也具有相同的效果。演绎推理可以让我们获得一种满足感并实现自身的价值，从而塑造我们的自我形象。当成功解决某事时，我们会有一种成就感，尤其在我们怀疑自己很难做到的情况下。

大脑通过分析、辨识文字图案和逻辑推理为这个世界赋予意义，并使其变得井然有序。我们自我测试和评估的冲动是大脑这一功能的自然结果。因此，花时间解答谜题是再自然不过的一件事了。

谜题的起源

解决谜题的迫切愿望似乎是人类普遍存在的、永恒的共性。考古资料显示，在每一种文化中，在每一个历史时期，都记载着谜题。我们所知道的道有文字记载的谜题可追溯到公元前两千六百年。这道谜题的文本记录在一块泥板上，出现在古巴比伦，是一道基于计算三角形边长的数学谜题。

同一时期也发现了其他谜题。古埃及的莱茵德纸草书描述了一道谜题，几乎可以肯定英国传统谜题“当我去圣艾夫斯的时候”就是其现代翻版。在莱茵德纸草书中，有一道这样的谜题：有虚构的七座房子，每座房子里有七只猫，每只猫杀了七只老鼠，每只老鼠吃了七粒小米。

还有一种类似的谜题：约公元前一千七百年，腓尼基人在塞浦路斯发现了一套早期谜壶，这套谜壶的设计正是后来中世纪欧洲的流行风格。这种独特的壶，属于阿斯考陶壶的一种，必须从底部注入液体。这种容器设计巧妙，后来演变成人们熟知的卡多根茶壶(倒流 壶)。这些壶没有盖子，需通过壶底部的穿孔才能往壶里注水。因为壶底中心有一根通心管，类似漏斗形，当水加到一定高度，将壶放正后，里面的水也不会流 出来。

更早的发现确实存在，只是时间长了，一些谜题内容已失传，很难确定当时的创作者是专门想出的这类谜题，还是仅仅将其作为数学论证。一组古巴比伦泥板显示的几何级数──数学序列，可追溯到公元前两千三百年。更早的一项数学发现可能源自公元前两千七百年，那是一组被雕刻成正多面体形状的石块。它们是规则的凸多面体──由完全相同的正多边形构成的三维立体形状。常见的是正方体，它由六个正方形构成，还有另外四 种：四面体──由四个等边三角形构成；八面体──由八个等边三角形组成；十二面体──由十二个五边形构成；二十面 体──由二十个等边三角形组成。这些石块到底是用作教具、谜题、游戏、理论演示、艺术品，还是宗教符号，目前还没有办法确认。事实上，它们的确存在，它们的存在也表明有人曾经花时间在研究一道重要的抽象数学谜题——到底存在哪些规则的凸多面体。

座迷宫

同一时期，出现了一道有史以来伟大的建筑谜题。埃及法老阿门内姆哈特三世建造了一座金字塔墓，墓位于一座巨大的神庙中，神庙以令人难以置信的迷宫形式建造，相当复杂。这样的设计旨在保护法老的木乃伊和宝藏免遭打扰或盗窃。迷宫建造奢华，设计巧妙，据说这和代达罗斯在克诺索斯为克里特岛国王弥诺斯建造的著名迷宫的建造灵感和模式是一样的。克里特迷宫就是传说中有人身牛头怪物弥洛陶洛斯的那座迷宫。

解谜的历史

随着时间的推移，越来越充分的证据证明了谜题的多样性和复杂性，这是考古和历史研究的必然。古希腊传说表明，有数字的骰子发明于公元前一千二百年左右特洛伊围城期间。我们知道，从公元前五世纪到三世纪，横向思维谜题和逻辑谜题曾在希腊文化中掀起一股热潮。约公元前五百年，希腊出现了许多重要的数学作品，到公元后的数百年间，这些数学作品流传至罗马。同一时期，中国人也在玩数字谜题，人们称之为“洛书”（河图），而且还产生了更复杂的数学作品。

随着时间的推移，流传到现代的谜题和类似的智力游戏也越来越普遍。约公元前五百年，围棋在中国出现了，一千年后流传到日本。至今，围棋仍是一项重要的活动。与此同时，国际象棋出现在印度和中国，印度人叫它“恰图兰卡”，中国人叫它“象棋”。约公元三世纪，中国人已经知道如何解九连环了，公元七百年左右，蛇棋也出现了。

牌戏早见于公元九六九年关于辽穆宗的记载。这不是现在西方熟知的扑克牌，而是看起来像十一、十二世纪时波斯出现的纸牌游戏。公元一六九七年，纸牌谜题首次被记载下来。十八世纪末十九世纪初，工业革命的力量开始改变思想的传播方式，谜题呈爆炸式发展。以下是一些更著名的例子：一七六七年，约翰?斯皮尔斯布里发明了智力拼图游戏；一八二〇年，查尔斯?贝巴奇首次正式讨论一字棋（井字棋）；一八三〇年，美国出现了扑克；一八八三年，卢卡斯发明了汉诺塔；一九一三年十二月二十一日，《纽约世界报》出现了个填字游戏，由亚瑟?韦恩创作；一九七四年，厄尔诺?鲁比克发明了魔方；一九七九年，美国人霍华德? 格昂斯为《戴尔》杂志发明了数独，首次称之为“填数游戏”。

是否对大脑有益

事实证明，谜题是锻炼人类心智不可或缺的一部分，解谜更是一件益事。科学领域内，有关神经学和认知心理学研究的成果十分强调谜题和思考力训练的重要性，这是前所未有的。

据了解，我们的一生中，大脑不断地在建立、塑造并协调自我，它是人体具有这项功能的器官。以前，我们假设大脑是为了优化婴儿发育而构造的，但事实是它不断地重新“编写”自己的操作指令。它可以避开物理性损坏，在处理日常事务和程序时实现效率化，并根据我们的经验改变其结构。这种不可思议的灵活性被称为可塑性。

可塑性重要的含义是，我们的智力和认知能力可以在任何年龄进行锻炼。就像肌肉一样，我们的大脑可以对运动做出反应，让我们有更好的记忆力和更发达的脑力。当然，我们的幼年时期是重要的时间段。婴儿产生的突触几乎是成人大脑数量的两倍，以确保能学习到每一种经验，并且在发展心智结构时有其自身的空间。人生前三十六个月特别重要，人的智力、品格和社会生活的模式都将在这一时期形成。大脑从儿童时期不断发育，直到成人时期能接受良好的教育，这是之后心智健康的重要指标之一。

重要的是，二十五岁的大脑和七十五岁的大脑几乎没有区别。随着时间的流逝，大脑会进行自我优化以适应我们的生活方式。处理常规事务时，几乎不需要重新调整脑回路就可高效地工作。用之则进，不用则退──锻炼身体可以强健肌肉，同理，脑力训练可以让我们的大脑更“聪明”。

解谜和大脑发育

有很多老年人智力衰退，数量相当惊人。目前人们认为导致这一现象的原因是缺乏思维训练。严重的智力衰退通常与阿尔兹海默症的组织损伤有关──然而现在甚至有证据表明：费脑的思维训练可以让大脑避免阿尔兹海默症，减小损伤。在其他情况下，只要没有器官损坏，大脑衰退的主要原因就是大脑的“停运”。

全世界的研究项目发现了关于头脑灵活的睿智长者的一些情况，包括高于平均水平的受教育程度、接受变化、个人成就感、体育锻炼、聪慧的配偶、积极投入生活，也包括阅读、社会活动、旅游、与时俱进和定期解决谜题。

然而，并不是所有我们想去参与的事情都是有益的。有益智力的事情是能积极激发智力的，例如拼图、做填字游戏和其他智力游戏、下棋、阅读一些能激发想象力或者需要动动脑才能消化的书籍。然而，事实上，被动地追求智力可能加速智力的衰退，此类损害智力的消遣就是看电视。出人意料的是，任何让您“关闭” 智力的事情都是有害的，例如听某些类型的音乐、阅读内容低级的杂志，甚至包括打电话社交。如果想进行有益身心的社交，请进行面对面的交流。

哥伦比亚的研究

哥伦比亚大学的研究团队对来自曼哈顿北部地区的一千七百五十多名养老金领取者进行追踪研究，为期七年。团队对研究对象进行定期的身心检查，以评估他们的智力健康情况和大脑机能。研究对象还向团队提供了有关他们日常活动的详细信息。研究发现，即使不考虑教育和职业成就，他们的休闲活动也大大降低了罹患阿尔兹海默症的风险。

研究团队的雅科夫?斯特恩博士发现，频繁参与休闲活动的研究对象患病风险降低了38％。活动分为三类：体能、社交和智力。研究发现，每一类活动都是有益的，但保护性的来自于智力活动。活动越多，保护的程度越大，每一项休闲活动的递增效应为8％。斯特恩还发现，休闲活动有助于防止阿尔兹海默症所造成的身体伤害：“我们的研究表明，生活经验的方方面面提供了一套技能或指令，使个体能够在疾病具有明显临床表现前长时间对抗阿尔兹海默症的发展，保持智力活跃并参与日常社交可以缓解健康个体的晚期认知衰退。”

保持头脑清醒

下面的研究结果强有力地支持了斯特恩的结论。芝加哥急性阿尔兹海默症中心的戴维?贝纳特博士主导了一项研究，每年对一组年高睿智的研究对象进行评估，然后在其死亡后检测他们捐赠的大脑是否有阿尔兹海默症的迹象。研究对象在脑力、社交和体力上都表现得很积极，在死亡时都没有罹患阿尔兹海默症。研究人员发现，超过三分之一的研究对象脑组织损伤程度达到阿尔兹海默症的标准，包括脑部组织的严重病变。例如，在记忆测试中，这一组的得分比其他研究对象低，但在认知功能和推理测试中表现相同。

研究人员在圣母姐妹学校修道院修女的帮助下进行了一项类似的研究。该修道院人员的平均寿命高达八十五岁，当结果显示没有人患阿尔兹海默症，这个修道院引起了研究人员的注意。修道院显著的特征是：修女们避免懒惰和精神空虚，特别努力保持思维活跃；参加各种各样的活动，例如解决谜题、玩挑战性游戏、写作、举办关于时事的研讨会、编织等，并与地方政府保持联系。就像前面提到的，有大量证据表明，即使是九十多岁的研究对象，阿尔兹海默症带来的更多是身体上的损害，而非智力损害。

脑力的恢复

其他研究也试图列举智力活动的益处。新南威尔士大学精神病学院的迈克 尔?巴伦苏埃拉主导了大规模团队追踪，并研究了全球近三万人的数据信息。研究结果很清楚——也证明了以前在教育、事业和心理健康之间发现的同样明确的联系，所有的条件中，日常生活中高度用脑的人罹患阿尔兹海默症的可能性降低了46%。 即使对于那些随着年龄增长而经受智力挑战的人来说，这也是真实的——如果您使用智力，大脑会适应于保护它；如果不用它，大脑会让它停滞不前。

与其说解谜是一门科学，不如说是一门艺术。它需要头脑灵活，掌握基本原理，理解游戏规则，有时候需要一点直觉。比如经常说的填字游戏，您需要领会作者的风格才能真正擅长解他或她的谜题。这在一定程度上也适用于其他类型的大多数谜题，包括您将在本书中发现的许多种谜题。

序列谜题

序列谜题需要您找出缺失值或缺失项，或根据隐藏的规律完成谜题。在这种类型的题中，您可以根据序列中充分提供的项，发现隐藏的逻辑。只要理解了序列，就可以计算出缺失项。当谜题简单时，能一眼就看出序列规律。不难算出在序列1、2、4、8、16中，下一个数是16的两倍，所以16后面的数是32。虽然数字序列只是数学公式的表达式，但这种谜题也可以变得无限复杂。

当然，难度适中的谜题在人类能力解决范围之内。越复杂的题，好的方法通常是计算序列中逐项之间的差异，并从这些差异改变的方式中寻找规律。您还要注意，在一些谜题中，序列的项可能不一定只代表它本身。每个项的不同部分或数字可能会根据不同的运算方式重新组成序列。例如，序列921、642、383、             164，实际上是三个混合在一起的简单序列——9、6、3、0，2、4、8、16和1、 2、3、4。下一项是-3325。有些谜题中，序列项以时间的形式给出，可能它们仅仅代表数字所描述的时间，但也可能只是数字本身，或是完全不同的另一组序列中的一对数字，或者甚至需要将时间进行转换：都转换为分钟，直到序列变得 明显。

例如，11:14在一道谜题中可能代表时间11:14，也可能代表时间23:14或数字11和14、数字23和14、数字1114，数字2314，甚至数字674（11×60分钟，加上剩下的14分钟）。正如您所看到的，解决序列谜题需要一定次数的试验和失败，以及一定程度的横向思维来测试不同的可能性。煞费苦心的出题者希望您能挖掘所示信息的内涵外延，猜出某种序列。因此，在没有其他提示的情况下，11:14几乎不可能表示11个月和14天，或十一月十四日，或者11小时14分钟，当然，除非给出11:14:00。

以字母为基础的序列都是有所代表的。与数字不同的是，字母没有作为符号的深层结构。只要能推断出这些字母代表什么，答案就很明显了。序列D、N、O可能看起来很抽象，除非您能想到一年中月份的倒序（December、Novem-ber、October）。在视觉序列中，例如方格图案，序列就在那儿等待您的发现，您的任务是找出重复的图案。与数字序列一样，简单的方格图案序列规律很明显。在较难的谜题中，序列可以变得很长，而且呈现方式通常让人迷惑，难以识别出来。针对这种类型的方格谜题，出题者喜欢从底部右边的方格开始，然后按螺旋形或从左到右、从右到左（从上到下、从下到上）来回反复的方式，有时甚至按对角线形式出题。

同中选异问题是一种特殊的序列题，给出序列项或相关元素集，连同一个不符合规律的项。像其他序列谜题一样，这些题可能很容易，也可能难到几乎无法破解。在2、4、6、7、8中发现异数轻而易举。但要从B、F、H、N、O这组序列中找出异项，几乎不可能，除非您已经知道这组序列是元素周期表第二行的元素。即便这样，您可能还需要参看一份元素周期表才能发现氢元素H位于行。和任何其他序列题一样，所有同中选异题需包含足够的信息，其中的文字和标题会为您找到正确答案提供背景知识。在上面的例子中，一个“元素谜题”的标题足以使它成为一道公平的谜题。

方程式谜题

方程式谜题与序列谜题相似，但解题方法与之略有不同。在方程式谜题中，给出一组数学运算，其中包括一个或多个未知项，可用方程式来表示，例如传统方程2x 3y = 9，或者用直观的方式表示，例如天平的一端是两个铁砧和三根铁条，天平的另一端则放九个马蹄铁，天平两侧保持平衡。

对于每个未知数──x、y或铁砧等，您需要一个方程式或其他一组值才能计算出正确答案。如果缺少这些，就无法解题。以上述方程式2x 3y = 9为例。有两个未知数，因此可以有很多答案。例如，x可以是3，y可以是1，代入x和y，2×3 = 6，3×1 = 3，然后相加，6 3 =9，但是x也可以是1.5，y可以是2……以及其他无限可能。因此，在遇到方程式谜题时，解题之前，您需要考虑所有可能的方程式。

回到上面的示例方程，如果同时又知道x 2y = 7，您便可以开始解题了。解方程式题的关键是让方程式只包含一个未知项，然后算出该项的值，从而算出其他未知数的值。例如在我们之前的方程式 2x 3y = 9和x 2y = 7中，改变一个方程式，算出x的值，用y来表示x（每个x相当于多少个y），然后在另一个方程式中用含y的方程式替换x，得出一个只有y一个未知数的等式。只要按照步骤一步一步算，就没有听起来那样复杂：

已知：x 2y = 7

对方程式两边做出任何改变都要保证等式成立。例如，2 2 = 4。 如果每边加1，方程式仍然成立。即，2 2 1 =4 1。用这个方法，我们可以在等式两边同时减去一个相同的未知项，用y来表示x:

x 2y - 2y = 7 - 2y

2y抵消：

x = 7 - 2y.

现在我们知道x就等于7 - 2y, 我们可以把它代入另一个方程式。2x 3y = 9  变成：

2×(7-2y) 3y = 9

注意： 2x 意思是方程式中有2个x, 以y的方程式表示x也需要变成2倍才准确，扩展为：

2×7- 2×2y 3y =9, 或者14- 4y 3y =9

接下来的一步是算出一边y的值和等式另一边的数字。

14- 4y 3y -14 = 9-14得： 

-4y 3y = -5

-4 3 = -1, 所以:

-y = -5, 也就是 y = 5

  回到个方程式： 

x 2y =7, 代入y算出x：x 2×5 = 7

x 10 = 7

x 10 – 10 = 7 – 10 x = 7 – 10

终结果是：

x = -3

后一步，通过在两边同时代入x和y的数值来验证方程，来确保等式两边相等。

2x 3y =9 和 x 2y =7

2×(-3) 3×5 =9 和 -3 2×5 =7 -6 15 =9 和 -3 10 =7

9=9 和 7=7

正确答案

您遇到的任何方程式谜题都会包含足够的信息，便于您解题。如果题中包含两个以上的未知项，解题技巧是用一个方程式表示一个未知数，在所有其他等式中都用方程式替代该未知数，得到一组新的方程式，其中减少了一个未知项。然后，重复这个得出一个未知项的过程，直到后只剩下一个未知项并算出它的数值。然后用算出的数代入方程式中算出下一个未知项，以次类推。这就像一道古老的数学版汉诺塔谜题。后提示一点，请记住，每个未知项都能用一个方程式表示，如果方程式中缺失一个未知变量等式仍能成立，那么我们可以说这个等式一边或两边的变 量为0。也就是说，4y 2z = 8 与 0x   4y 2z = 8 相同。

  祝您解题愉快！

书籍介绍

本书为智力游戏书。“门萨”是世界顶级高智商俱乐部的名称，于1946年成立于英国牛津。它的英文名称“MENSA”在拉丁语中是“圆桌”的意思，其寓意为：任何人都可以加入其中，和地位、金钱、特长统统无关，唯一的条件就是会员拥有高于148的非凡智商。本书包含150道数学谜题，由门萨俱乐部专家设计。要解决这些谜题，读者需要具备阅读、书写、计算和推理能力，许多专家称此为“纯粹的”智商测试。快来挑战自己吧！看看您到底有多聪明！

• 作者：橙色菲加 发布时间：2014-03-31 09:31:53

  即使朱德庸在他的彩色幽默的背后是黑色，但是在他现实黑暗的思考赔后却依然是“相信爱情”。前言写的极好。

• 作者：ricerice 发布时间：2018-06-14 18:17:52

  20171101@ jd.29.74 201802

• 作者：豆瓣童书小助手 发布时间：2019-01-17 03:57:02

  编得跟初中地理课本一样…

  作为一套给儿童的地理启蒙书来讲，既不生动，也不有趣，不理解这么高的评分是咋回事

• 作者：一衍 ™ 发布时间：2007-11-28 17:48:42

  是完全以情节取胜的作品，漫画让人看着乱，动画成功弥补了这个缺陷。

• 作者：雪秒 发布时间：2018-03-11 17:17:04

  很有趣哦~ 初识哲学的奇妙吧

• 作者：赵三藏 发布时间：2021-02-11 18:01:35

  观音上师表示，目前许多灵性书籍都非善灵所著。

  请参考灵性书籍的黑白名单：https://mp.weixin.qq.com/s/dPOg79WYRW-2RYi1liP2fA

  择书、报灵性课程之前的避坑必看视频，揭发各种灵修法门的乱象（包括阿卡西、高我、指导灵、灵气、动物沟通等等）：https://www.theloveofkuanyin.com/doubleeggs/

  一切星座、命理、塔罗、灵摆等都不建议接触：https://mp.weixin.qq.com/s/XDLPPFfN_XEOPdL4Xp9SKQ

  我无法保证我说的是对的，请看过链接内容后用你的理性来判断♥

• 【Notae】继续解读混沌：用自己的话再说一遍

  作者：维参 发布时间：2021-11-13 12:49:51

  一、前言

  《混沌》是一部关于混沌科学、混沌理论、混沌思想的绝佳科普作品，尽管它并不算特别易读。不过，把易读、好读、简单等同于好的科普，这才是没有道理的——我们身处的世界如此复杂，甚至连预测一周之后的天气都做不到，如果这些问题可以简单易懂地理解，那么为什么数千年来一直无人做到呢？与之相反，科学家的事业正是去理解复杂，他们在更高的抽象层次上将纷繁杂乱的现象化约为简洁精炼的数学模型。但这种简洁精炼是有代价的：第一，随着抽象程度的提高，这些数学模型本身变得越来越难以被外行理解；第二，在抽象概括的过程中，现实世界的丰富细节和动态变化通常被忽略。正是这两个根本的要点，而决不是作者的写作水平不佳，导致了本书并不算多么易读。

  任何关于科学史的叙述都可以被解读为两个故事。在20世纪30年代，研究者对科学史研究作出了内史与外史的区分。科学内史关注的是科学思想、数学推理和实验验证，也就是那些被认为是科学的东西本身如何发展、变化的。科学外史则强调社会、文化、经济、政治、心理等等因素对科学发展的影响。当然，我们知道现实中这两个方面总是相互交融、相互干扰、相互协调的，但这种划分的思路在很长时间内为处理许多专门问题提供了便利，推动了整个科学史和科学哲学研究的发展。

  在科普作品中，我们也能清晰地感受到两种类似的倾向：一种集中于论述、说明具体的科学问题及其解决过程，一种花大量笔墨描写科学家和科学共同体的故事。尽管我个人更偏爱前一种，但《混沌》无疑把两者结合得非常完美。原本，我打算写一篇关于两个故事的文章——一是关于混沌如何成问题、如何被发现、如何推进发展的故事，二是相关科学家如何努力钻研、如何遭遇挫折、如何分道扬镳、如何谋取名利的故事，以及这两个故事怎样互相摩擦、互相扰动。但随着阅读的深入，我发现混沌科学的思想高深奥妙，仍有解释的空间。我希望以下内容可以帮助有需要的人更好地把握混沌在科学和思想上的意义——而不至于沦为对“这里一蝴蝶，那里一飓风”的无意义重复。

  二、从抽象开始

  在《数学：科学的女王和仆人》中，E.T.贝尔毫不留情地揭露了这样一个事实：

  为了对情况有一番了解，不妨让我们大致考虑一下，一所不错的美国中学为学生提供的全部数学课中都有些什么。几何教的实际上就是差不多有 2200 年历史的欧儿里得几何学。它对真实物理世界的几何形貌的归纳可以令人满意地达到一级近似的程度。这对一些工程师来说已经够用了，但达不到现代物理的基本要求，而从事研究工作的数学家对它的兴趣早就已经消失殆尽。我们对于宇宙的视界早已超越了欧几里得几何的范畴。

  代数的情况相对好一些。一个成绩优良的学生能够掌握带有正整数指数的二项式定理，该定理是帕斯卡在 1653年发现的。这位学生的代数也就止步于此。而代数中真正有意思的内容发端于 19 世纪与 20 世纪，是在帕斯卡死后 150 年后才开始发展的。

  至于数论，高斯口中的数学女王，毕业于这所好学校的学生一点也没有学到。除了那些极端幸运者之外，学生们连数论这个词也不会听到。而欧几里得至少知道数论最为优美和影响深远的真理中的一个。其实，任何上过一年中学的人都可以理解这个领域中许多令人吃惊的结论。

  中学优等生也没有学到有关解析几何和微积分的任何知识。

  考虑到此书是贝尔在1930年代写作，1950年代改编结集的，我们可以欣慰地说21世纪的情况要稍好一些。至少，我们的高中生在解析几何上花了大力气，许多大学本科生则为了微积分和概率论抛头颅洒热血——不管怎么说，这些至少也是18世纪才臻于完善的数学。但除了极少数专业的学生，绝大多数大学本科生永远也不会进入19世纪数学，那恰好是现代数学的开端，更是一个人要理解混沌所必须具备的基本思想的来源。

  这个处于核心之处的东西，是

  抽象

  。从一开始，数就是一种抽象。一个苹果和一个梨是不同的，但其中的“一个”却完全相同。数最初显得非常奇特，因为人们不能离开事物来谈数：要么是一只羊，要么是一个绳结。随着语言和符号的发展，数获得了“数字”的形式，可以脱离具体事物独立存在，人们才开始推进对它的认识。这是第1次、第1层抽象，一个原本看不见摸不着的东西，由于可以用符号来表示，开始成为人类精神世界的一部分。代数从算术中脱离出来是第2次、第1.5层抽象，人们用并非数字的符号来表示不确定的数，这使得一类数成为数学对象。在此之前，就连负数都是很难想象的，怎么会有东西比没有还要少呢？负数、虚数只有在代数的基础上才能被理解。

  随着代数的发展，人们开始区分代数解和数值解。

  代数解

  就是一个方程在抽象层面的解，比如一元二次方程ax² +bx+c=0的判别式△=b²-4ac和求根公式。这意味着只要在方程规定的范围之内，无论你将系数a、b、c设定为何值，都可以代入其判别式来判断是否有实数解，并直接用求根公式求解方程，从根本上解决了

  这一类

  方程的问题。与之相反的是

  数值解

  ，人们早就掌握许多简单方程的数值解，比如x²=4，x=2(那时还未产生负数的概念）。但是，你知道了x²=4的解，对于你求解x²=5并没有什么帮助，每一次都得重新开始。

  可想而知，工程学家会希望求出具体某个方程的数值解，但数学家们想要的一定是代数解。特定方程的数值解容易取得，但获得代数解才可以说方程是可解的。求一元三次方程的代数解在16世纪引起了轩然大波，这件事构成了数学史绝不放过的一章，并且其方法可以进一步应用到一元四次方程上。但人们在一元五次方程那里卡住了，二百五十年间挑战者如过江之鲫。帕斯卡、牛顿、欧拉、高斯、柯西这些闪耀的名字都为求解五次方程作出了贡献，可还是无人能竟全功。直到阿贝尔以一种出人意料的方式给出了回答：五次方程没有代数解。

  阿贝尔的解决办法就是再一次提高抽象层次。只有提高到第2层抽象层次，我们才能理解五次方程的问题。如果说数是对事物的某种性质进行抽象，代数是对数字的抽象，那么抽象代数/近世代数就是对方程和运算过程的抽象。阿贝尔并没有考虑具体如何求解五次方程，而是研究了五次方程

  这一类方程

  的性质——严格意义上这才称得上是代数，对一类数学对象和一类运算规则的研究。《代数的历史》写道：“这类运算可以运用到根本不是数的对象上。数学家们习以为常的那些符号可以代表任何事物：数、置换、数组、集合、旋转、变换、命题等等”。满足一系列运算规则的一类数学对象被称为一个

  群

  。一个

  交换群

  （又叫阿贝尔群）就是满足一系列运算规则并且尤其是满足交换律的一类数学对象。杨振宁最为著名的成果杨-米尔斯方程，正是将交换群的规范理论（适用于电磁场的量子化）扩展到了不可交换群，原本必须要符合交换律才能进行的运算现在不再需要这个条件了（适用于电-弱相互作用和强相互作用的量子化）。无论是群论，还是杨-米尔斯方程，它们的中心思想都是一样的：

  在更高的抽象层次上寻找不变量，以解决在当前抽象层次上找不到规律的问题

  。

  在遥远而古老的年代，我们有一个苹果和一个梨。苹果和梨是不同的，也无法比较。通过抽象出数量这个性质，我们找到了不变量：一个。进而是数这个概念，它使得苹果和梨这两个不同的东西有了相同的侧面，数量。两个原本无关的事物现在就可以进行比较、运算。在初等代数中，数1、2、3……用其他符号如a、x来表示，它们代表了所有能够使方程成立、左右相等的这一类数。在抽象代数中，我们直接对方程和运算规则进行研究，一次性解决关于一类方程、一类运算的问题。这种思路使我们可以把握整体性质、全局问题。我有时喜欢把拓扑学叫做几何学中的抽象代数，把泛函分析叫做分析学中的抽象代数，他们都是现代数学在同种思维作用下的产物。如果你更喜欢几何学，从拓扑学的角度来看待这个问题也是一样的。

  理解混沌的关键，正在于这里：

  混沌是一种有秩序的无序，它的秩序和无序出现在不同的抽象层次

  。

  三、非线性、吸引子和复杂性

  本书的整体结构：

  ——非线性（气象学、生态学、数学、单摆、振荡电路）

  ——分形（自相似）

  ——吸引子-极限环-奇怪吸引子

  ——费根鲍姆常数/逻辑斯蒂混沌映射

  ——利布沙贝液氦对流实验/动力系统集体

  ——意识/人体/生态中的应用

  1.非线性

  E.T.贝尔又写道：“在数学的某些领域，战争期间不足10年的发现超过了和平时期50年的发现。我相信，任何清楚非线性微分方程和非线性力学的成就的数学家都会同意这种说法。”在二战结束29年后的洛斯阿拉莫斯（那里是二战时期原子弹的诞生地），格雷克借一位名叫费根鲍姆的物理学家为我们展开了非线性问题的伟大新篇章。 费根鲍姆是本书的中心人物（大概没有主角），因为他在混沌中找到了不变量——

  费根鲍姆常数

  ，为科学认识混沌中的秩序打开了大门。现在，让我们从头开始。

  混沌首先意味着微小的非线性。经典科学中，近似和收敛是有效的。微小的影响可以忽略不计，不会扩大成为任意大的效应。我们生活在一个认知能力不完美的世界，如果没有学会忽略一些极小的扰动，那人类就没办法得出任何有意义的科学理论。经典科学正是在理解、忽略误差和扰动的前提下取得成功的。伽利略的一项伟大贡献是理想实验，其斜面实验和斜塔实验从来都没有达到完美的地步——并不真的有小球会一直滚下去，对小球在斜面上滚到的高度也没有精确测量，斜塔实验更说不清楚是不是真的发生过。但伽利略通过理想实验揭示了这样一个事实：忽略现实中的部分干扰，可以得到部分真理。

  随着科学越来越深入地应用于现实世界，科学家们就不得不承认，这种部分的真理有时不够用。气象学家永远也找不到一个有意义的全球气候平均规律，生态学家无法理解生物种群数量的演变模式，从木星上的大红斑到振荡电路中自发出现的噪音都困扰着物理学家，数学家则开始尝试理解非线性方程（由于抽象层次天生高人一等，数学家的工作总是意义重大）。他们各自从自己的领域出发，渐渐撬开了一道缝隙：这些看似毫无规律的系统中好像有着某种规律，要想研究这种规律，必须搞清楚系统在

  相空间

  那一团乱麻中的

  精细结构

  。

  2.相空间

  在代数中，有一个重要的概念：抽象空间。抽象空间并不是一个现实中的空间，不是我们可以挥一挥手发现空无一物的空间，它

  仅

  存在于抽象层次。我们最熟悉的小车速度随时间变化的图像，就构成了一个简单的二维抽象空间，其中的每一个点都对应着小车在现实中的一个状态，某时点+某速度。在大学线性代数课上，我们学习了

  向量空间

  ，它和我们高中时学习过的平面向量与立体几何在形式上相似，计算方法也一样，但处理的对象不再是实际的几何对象，而是抽象的事物性质。

  相空间就是一种抽象空间。物理学中比较常见的相空间有六个维度，包含三个动量维度和三个空间维度。时间内含于点的数量中，计算的次数=点的数量=时间序列。其中，每一个点都标明了事物的三维空间位置和对应的动量。如果你需要的话，可以添加其他的物理量（事物性质）使这个空间的维度增大，但计算量也会随之激增。混沌研究者们要研究的图像，正是这种相空间中的图像，它由许许多多点构成，每个点代表一种特定的事物状态。通过研究相空间图像的规律，科学家们就可以把握事物运动的模式。计算的次数越多，图像就越完整，无怪乎混沌是一门计算机时代的科学。

  3.分形

  分形的意义在于，提供了一种对精细结构的洞察：

  分形意味着自相似

  ，自相似性是在不同尺度上的对称性。分形图像的一个典型特征是，无论你放大10倍、100倍还是100万倍、1000万倍，都会看到十分相似的的图像。分形是那个把不同的尺度，个体与群体联系起来的核心——它们的某些动力学性质是相似的，或有规律的。再次提醒：海岸线、雪花的分形图案是关于现实世界的图像，

  相空间中的图像则是抽象的，并不表示现实中的物质形象，而是显示了一系列物理性质怎样随时间变化，它本质上是事物运动的模式或没有模式

  。不过，研究这些分形的方法是相同的，它们的美也如出一辙。相空间在较高抽象层次上将那些现实中看起来毫无规律的事物转化为图像，而分形及其背后的非线性数学则提供了理解图像的数学方法。

  4.奇怪吸引子

  当分形的洞察转移到混沌中，科学家就可以对奇怪吸引子说些什么了。

  吸引子

  是动力系统的相空间中一类有规律的图形（点集），它表示事物运动的模式会自然倾向于一些特定情况。设想一个箱子安静地放在地面上，它的空间位置和动量始终不变，我们每隔1s就在相空间中画下一个点。显然，无论过去多长时间，所有这些点都落在同一个位置。这个静止不动的点（从空间角度看）/堆积在一处的点集（从时间角度看）就是一个

  吸引子

  ，它表示这个箱子的运动模式是固定的（收敛了）。匀速直线运动的东西位置均匀变化而动量不变，会画出一条不断延伸的直线，某些周期运动看起来像是一个

  极限环

  ，在受到微小扰动后会自发回到原本的周期规律中。当然，也有可能事物的运动完全随机，没有任何规律可循，这样一来相空间中的点就会到处弥散，无从考察，这时不存在吸引子。一个事物的运动模式可以有很多种，它可以静止不动，可以匀速直线运动，也可以做匀速圆周运动，这些运动模式对应着不同的吸引子。

  最令人惊异的是，混沌有吸引子：

  奇怪吸引子

  ，它在相空间中呈现出一个若隐若现的范围。奇怪吸引子中的点绝不超出这个范围，但也绝不在同一个位置出现两次，最终形成一种

  分形

  结构。我们知道，数轴上的0到1之间包含了无穷多个点。这个“范围”同样包含了无穷多个点、线、面、体、四维体、五维体。奇怪吸引子意味着事物的行为模式受到了限定，这是一种规律，规律出现在三维以及更高的维度上；在这个限定之内其行为模式又是无限多的，并且永远不会重复自身，这又是一种不规则，不规则必定要比规律低至少一个维度。

  是以格雷克说：“混沌和不稳定性，这两个概念并不是一回事。一个混沌的系统可以是稳定的，只要其独特的不规则模式在面对微小的扰动时得以维持。不规则模式可以被认识，但只能在其自身的层面被认识。” 他的意思是，混沌的运动模式可以是稳定的，被限定在一定的范围内，这种不规则模式作为限定范围的层面可以被认识，其具体运动的实际状态则永远不会重复自身。这亦是混沌的秩序和不规则出现在不同抽象层次的意思：混沌是现实事物的具体运动出现了不规则，无法做到长期预测；但它的这种不规则本身在较高的抽象层次上是有规律可循的，我们可以获知关于它的整体的信息。

  5.混沌的意义

  费根鲍姆常数

  从数学上概括了混沌这一类不规则出现的规律，也就是非线性方程分岔（出现不规则情况）的规律。

  利布沙贝液氦对流实验

  和

  动力系统集体

  为这一数学成果添加了实验方面和理论物理方面的例证。由此，我们对于混沌现象就有了一套完整的科学理论，它涵盖了数学方法、物理实质与经验验证，并且可以直接将这些基础内容快速拓展到许多不同的学科里去。

  心室颤动是一个复杂系统自身涌现的一种无序。非线性系统有两个侧面，第一，在某些情况下，微小的扰动会被忽略，起到调节和控制的作用，而线性系统会缓慢但坚定的偏离轨道。第二，在另外的情况下，微小的扰动使得系统跨过某个临界点进入混沌。心脏跳动需要面对复杂的现实情况，如果它仅仅满足一种简单的线性方程，一旦人剧烈运动，心跳加快，心脏各个部分的配合不能快速协调，那么它们之间的不协调就会被线性方程逐渐放大，以至于心脏崩溃。相比之下，心脏作为一个混沌系统，各个部分之间微小的不协调可以自我修正，长期保持稳定——直到心脏机能出现问题，再于某个偶然时刻越过了临界点，它才会解体，这种事情出现的概率就要小得多了。

  格雷克指出：“ 混沌揭示了一条令人惊奇的讯息：简单的决定论式模型能够生成表面上看似随机的行为……简单系统可以生成复杂行为，复杂系统可以生成简单行为……另外，非常重要的是，复杂性的定律是普适的，它们根本不在意一个系统的构成要素的具体细节……在我们的世界中，复杂性生生不息，而那些试图向科学寻求一种对于自然运作之道的一般理解的人其实将在混沌定律那里求得更多帮助。”

  四、后话

  书中关于科学家与科学共同体的内容同样有趣且深刻。比如数学的严格性和历史趣味、有效市场假说和科学发现、试错的几何学、科学名利场等等。

  相关阅读：《科学史与科学哲学导论》《代数的历史》（本年度第N+1次介绍它）《大自然的分形几何学》《混沌与分形》 《物理世界的数学奇迹》

• 书单｜符合中国国情的亲自养育手册

  作者：喜池Spring 发布时间：2024-03-12 16:22:19

  这是一本适合中国国情的心理养育手册，在与时俱进以及心理理论汇集以及案例上可以作为预防孩子心理出现问题的心理免疫接种手册。

  作者为国家二级心理咨询师，国家一级职业指导师，青春期厌学问题专家默微，其《青春期厌学与叛逆破解》及《重新定义父母》等课程，

  在喜马拉雅、今日头条等多个平台累计播放量达百万次，已帮助数万家长改变认知、摆脱焦虑、提升养育能力，并为近 2000 名父母提供过团体心理辅导和个案咨询。

  本书通过大量案例和理论知识提出核心观点：“父母是一个职业，上岗需要培训”；

  “心理发育”和“身体发育”一样重要，属于并行关系；

  如果你在成为父母以后感到越来越迷茫，或者在育儿过程中感到迷茫，又或者不知道如何处理亲子矛盾事件，不知道如何帮助孩子找到未来的方向，这里都可以找到问题的症结与解决方案。

  如果你也和我一样希望找到一本可查询并找到亲子育儿答案的手册，这本着眼于中国本土教养方式的实操版育儿书《重新定义父母》很有用。

  《重新定义父母》这本书之所以可以起到一本家庭教育手册的作用，在于其直白的案例语言，以及从出生开始各个年龄段的孩子需要注意的关键问题，都清晰明了地说明了，

  父母可以按照自己的孩子所处阶段以及问题去查询，不出家门就可以找到家庭育儿师给你答案。

  作为育儿亲子书籍推荐人以及博主，从前我所接触的书籍中能够做到横跨0~18岁年龄段的本土且全面的亲子育儿书籍并不多，也难得有这么一本可以用手册形容的育儿书籍。

  直白，一看就懂是这本亲子育儿书籍的一大特色，书中提出中国父母在养育过程中对孩子身体发育和身体疾病的知识了解远远超过了对心理发育和人格发展的了解。

  许多父母可能至今都不太清楚心理发育和身体发育一样，要尊重心理的发育规律，满足心理需求，和身体一样，心理也需要及时排泄“情绪垃圾”，否则会造成心理发育不良，进而影响人格的健康发展与形成。

  作者用一句话总结这本书的重要之处：“一个人身体强壮了，干点力气活会很轻松，一个人心理强大了，学习也不是什么困难的事儿。”

  因此，父母的作用不仅仅是保证孩子身体健康，还有一半责任在于孩子的心理健康与未来动力。

  父母掌握了心理养育的方法，才能培养出一个“心理健康、人格完善”的孩子，这样的孩子自我强大，自尊自信、自律、专注、抗挫折，具备终身的学习动力和全面的学习能力。

  作者提出了53321心理养育体系——

  心理养育的5个方面：学习状态、手机游戏、生活习惯、性格养成、社交关系；

  心理养育的3类客体：父母、重要他人及兴趣爱好；

  建立亲子关系的3个方法：放手、界限、破除限制性信念；

  给孩子补充心理养分的2个技巧：肯定认可和无条件满足；

  排泄心理垃圾的1个原则：无条件接纳。

  在自序时作者提到的几句话直白且让我震撼，也促使我在接下去的阅读中不断校对自己作为母亲在孩子0-10岁这个阶段的育儿质量。

  在作者的“父母是一个职业，上岗需要培训”的自序中，我读到以下几句话：

  “1岁之前的孩子没有承受挫折的能力，也没有安抚自己的能力。”

  “6~12岁是释放孩子攻击力的阶段。”

  “孩子性格的形成，是由父母决定的，父母变了，孩子自然就会发生改变。”

  自序往下阅读，你会了解许多知识点，

  举例：

  孩子成年后发展良好的优质父母特质——自信、快乐、可依赖；

  父母岗位能力具体指的是什么；心理健康形成所需要的五类心理需求；

  心理垃圾的排泄方法；心理养育的三类客体：

  父母、他人及兴趣；各年龄段孩子的心理发展规律；用“多元智能理论”找到孩子的“长板”；

  以及心理养育的三部曲：建关系、给营养，排垃圾。

  作者将家庭形容为孩子心理成长的“子宫”，通过大量案例直白阐述育儿的关键问题和方法，当然也综合了很多理论帮助读者家长理解原因。

  直白，全面，简单，易于理解是这本书的特征也是推荐理由。

  父母可在孩子的各个年龄段遇到问题时对照查询孩子的心理发展阶段以及是否属于问题以及了解如何帮助孩子排解心理垃圾的方法。

  真正做到淡定面对孩子问题、成为孩子有责任感、可依赖的父母。

  

  《重新定义父母》

  7.6

  默薇 / 2022 / 台海出版社