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《复变函数教程》是大学数学系复变函数基础课教材。全书共分九章，内容包括：复数与复空间，复平面的拓扑，解析函数概念与初等解析函数，Cauchy定理与Cauchy积分，解析函数的级数展开，留数定理和幅角原理，调和函数，解析开拓和共形映射等。《复变函数教程》在Cauchy定理的证明中，采用对积分闭路的简化推导，比同类教材要技高一筹。适用于综合大学数学系大学生及数学爱好者。《复变函数教程》对解析函数、多值函数、解析开拓和共形映射等内容作了较好的处理，使传统内容以新的面貌出现。为方便读者使用，各章配有适量的习题，并附有解答和较详细的提示。

《复变函数教程》可作为综合大学和高等师范院校数学系及相关专业大学生的教科书或教学参考书，也可作为大、中学数学教师、科技工作者和工程技术人员的数学参考书。

第一章复数与复空间

1复数域

2复数的表示

3复数的运算

4不等式

5圆周和直线方程

6关于圆周的对称点

7复数的球面表示与扩充复平面

第二章复平面的拓扑

1复平面上的开集与闭集

2完备性

3紧性

4曲线

5连通性

6连续函数

习题

第三章解析函数概念与初等解析函数

1解析函数概念

2可导的充要条件

3导数的运算

4导数的几何意义与函数的实可微

5指数函数

6儒可夫斯基函数

7分式线性变换

8三角函数

9对数函数

10幂函数

11儒可夫斯基函数的反函数与反三角函数

习题

第四章Cauchy定理与Cauchy公式

1积分

2Cauchy定理

3Cauchy公式

4变上限积分确定的函数

5最大模原理与Schwarz引理

习题

第五章解析函数的级数展开

1函数项级数

1.1数项级数

1.2函数项级数与Weierstrass定理

1.3级数的收敛性

2幂级数与Taylor展式

2.1幂级数

2.2解析函数的Taylor展式

2.3零点的孤立性与唯一性

3Laurent级数与Laurent展式

3.1Laurent级数

3.2Laurent展式

3.3孤立奇点

4整函数与亚纯函数

习题

第六章留数定理和辐角原理

1留数定理

1.1留数的定义与计算

1.2留数定理

2辐角原理与Rouche定理

2.1关于零点与极点的一般定理

2.2辐角原理与Rouche定理

3求解析函数的零点数

4单叶解析函数的性质

5求亚纯函数的展式

6求某些函数的定积分

习题

第七章调和函数

1共轭调和微分与Green公式

1.1调和微分与共轭调和微分

1.2Green公式

2平均值性质

3Poisson公式与Poisson积分

3.1Poisson公式

3.2Poisson积分

4几个等价命题与Harnack原理

4.1调和函数的几个等价命题

4.2Harnack原理

5次（下）调和函数

6Dirichlet问题

习题

第八章解析开拓

1解析开拓概念与幂级数解析开拓

1.1解析开拓概念

1.2幂级数的解析开拓

2对称原理

3单值性定理

3.1沿曲线的解析开拓

3.2单值性定理

习题

第九章共形映射

1共形映射的例子

1.1单连通区域情形

1.2二连通区域情形

2黎曼存在定理

2.1Montel定理

2.2黎曼存在定理

3边界对应

3.1函数g（w）的连续开拓

3.2函数f（z）的连续开拓

4多角形的共形映射

4.1Schwarz—Christoffel公式

4.2矩形情形

习题

附录

习题答案与提示

名词索引

参考书目

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书籍介绍

《复变函数教程》是大学数学系复变函数基础课教材。全书共分九章，内容包括：复数与复空间，复平面的拓扑，解析函数概念与初等解析函数，Cauchy定理与Cauchy积分，解析函数的级数展开，留数定理和幅角原理，调和函数，解析开拓和共形映射等。《复变函数教程》在Cauchy定理的证明中，采用对积分闭路的简化推导，比同类教材要技高一筹。适用于综合大学数学系大学生及数学爱好者。《复变函数教程》对解析函数、多值函数、解析开拓和共形映射等内容作了较好的处理，使传统内容以新的面貌出现。为方便读者使用，各章配有适量的习题，并附有解答和较详细的提示。

《复变函数教程》可作为综合大学和高等师范院校数学系及相关专业大学生的教科书或教学参考书，也可作为大、中学数学教师、科技工作者和工程技术人员的数学参考书。

• 作者：圆圆曲 发布时间：2024-02-13 10:50:55

  作者无耻则文无耻

• 作者：ଲ 发布时间：2019-12-14 17:37:44

  努力了一把看到第五章，留数定理和辐角定理我放弃了。看完之后，我好歹能复述 Cauthy 定理，能复述 Cauth-Riemann 方程（但我依然不知道它的几何意义）。如果还有更进一步的想法，就是：我需要更加几何化的复分析教材。但其实，我仍未知道一个即将失业的后端程序员看复分析到底是干嘛。

• 作者：狄俄尼索斯 发布时间：2012-12-03 21:02:53

  这本复变写的还是挺不错的。自学起来、理解起来还是可以的。

• 作者：柚子茶 发布时间：2013-08-05 16:03:03

  我们80岁的老爷子全程英语教学啊。。。那学期我差点死了。。。

• 作者：ender_shan 发布时间：2010-01-03 15:40:54

  没有读的很仔细~

• 作者：天池一苇 发布时间：2022-06-19 23:03:40

  补记。中规中矩，在适当的地方牺牲了一些直观性以换取便捷，如直接用欧拉公式定义相应指数形式。对复数空间完备性、紧性等的讨论正具典型的分析风格。复函数在某区域D内可微蕴涵着比实部虚部分别可微更多的信息，即须满足CR方程。由此引出共轭调和函数，以及其与复解析函数在很多情形下具有的类似性质（如平均值性质，Possion公式，但个人对突然出现的形式符号，即庞培符号仍然很不喜欢）。对一些初等函数的定义及相关的计算较为清晰，但对多值函数与单值分支关系的叙述仍然可以更详细些（原多值函数的单值分支的值域为原函数的某一个反函数的单叶域）。从Cauchy定理到Cauchy公式，再到函数项级数以及留数定理，思路和方法都是较为典型和传统的（从流场的角度看，Laurent级数实际是将无穷、有穷远处的源和汇等相叠加）。

• 读后杂感

  作者：。。。。。。 发布时间：2013-09-15 23:04:59

  《儒林外史》是一本挺难读的小说。初中的时候课本里范进中举一篇，我极不喜欢，连带着对全书也没啥好感。（当年我还不喜欢围城，不喜欢三重门，所以我应该是不喜欢刻薄和故作刻薄的小说）前两年要考试，背小说史的时候找来读，被流水般的人物弄得晕头转向，这个公子那个公子，这个先生那个先生的，当真是“乱哄哄你方唱罢我登场”，又没什么核心剧情，看了十几回就弃了。

  这次又捡起来看，也常常不能一次性集中注意力看超过三回。眼睛一滑，就跑神儿了。看了一个多月，终于死撑着看完了。（以我日常读小说的速度，区区五十六回居然看了一个多月，可见真是很难进入！）

  看完了以后很激动，昨晚跟丁老板谈到半夜。决定写点感想：

  1、结构

  《儒林》最让我觉得神妙的是结构。

  背小说史的时候永远会背到鲁迅对《儒林外史》的经典概括“虽云长篇，颇同短制”，说它虽然是一个长篇小说，却是由一个一个人物引出各自的故事，再勾连在一起，人在事在，人走事去，就好像一堆短篇小说大集合，因此也得了一个“结构松散”的评价。（这结构与《水浒传》颇类似。）《儒林》绝对是一个精心结构的大长篇。最表面、最明显的特征就是前十几回出场的人物，在三十多回、四十多回以及到五十多回的时候，总会被反复提及。马二先生、匡超人、娄公子、张铁臂、蘧公孙、牛布衣……等等人物，一直到最后，都还被人提及，作为读者的我都忘了，作者没忘，时不时拉出来遛个弯儿，更不用说作为最核心正面角色的杜少卿虞博士一类了。（莫名想起了《日瓦戈医生》，那里面的主要人物也纷纷在不同章节、不同场合重复地“偶遇”。）

  次第出场的人物们，达到一定数量和阶段的时候，就会集体汇集一次。不论真假，“名士们”有几次聚会，一次是莺脰湖聚会，一次是西湖诗会，还有就是以南京杜少卿为核心的人物集合，高潮是那次热热闹闹的祭泰伯祠。在那之后，便渐渐走向收尾。杜少卿的出场也早在鲍文卿做主线人物的时候伏下了，而杜少卿的故事过后，虽然又进入了不同主线人物引出不同剧情的模式，但每条分线多多少少都与南京、与杜家有些瓜葛，剧情不论绕到四川还是绕到贵州，绕到京城，最终都绕回了南京。南京，在书里应该是有象征意义的。

  看前二十几回的时候我在想，这书这样写下去，没完没了，要怎么收尾呢？看到后来摊子越铺越大，愈发觉得要收尾很困难。到了第四十八回，苗头出现了—— 南京之后的分线人物们往往会跟杜少卿有点儿瓜葛，有亲戚、有朋友、有朋友的朋友，最终杜少卿等人总会再小小地出一次场。 这一回写女儿殉了夫的王玉辉来南京访杜少卿那一批名士，结果却是“那知因虞博士选在浙江做官，杜少卿寻他去了；庄征君到故乡去修祖坟；迟衡山、武正字都到远处做官去了，一个也遇不着”，遇见一位邓质夫说：“小侄也恨的来迟了。当年南京有虞博士在这里，名坛鼎盛，那泰伯祠大祭的事，天下皆闻。自从虞博士去了，这些贤人君子，风流云散。小侄去年来，曾会着杜少卿先生，又因少卿先生在元武湖拜过庄征君。而今都不在家了。”——“风流云散”啊，要点出的就是这个词。后来他们去看泰伯祠，门也锁了，灰也落了，于是我明白，这是准备要收场了。之前觉得挺困难的大摊子，就这么从侧面轻轻巧巧地开始收了。

  之后又一笔宕开，嘲讽了一通高翰林，花了几回篇幅讲了个豪杰凤四的故事，到了第五十四回，又是一收——出来个混不吝的人物陈思阮，陈和甫的儿子。他是个测字先生，天天住在家里和老丈人吵架。吵架这一段极精彩，中有一段，陈思阮反驳老丈人骂他混账：“老爹，我也没有什么混账处。我又不吃酒，又不赌钱，又不嫖老婆。每日在测字的桌子上还拿着一本诗念，有什么混账处？”这念诗是一伏笔，稀里糊涂话赶话的，这陈思阮就去剃了头当了和尚，真就每日坐在南京文德桥边念诗。遇上丁言志，见他看书，便说这书：“是莺脰湖唱和的诗。当年胡三公子约了赵雪斋、景兰江、杨执中先生、匡超人、马纯上一班大名士，大会莺脰湖，分韵作诗。我还切记得赵雪斋先生是分的八齐’。你看这起句：’湖如莺脰夕阳低。’只消这一句，便将题目点出，以下就句句贴切，移不到别处宴会的题目上去了。” 陈思阮不同意，说莺脰湖是娄三、娄四公子为主人，参与者有他父亲，也并不是赵雪斋、景兰江那一场，也并不曾作诗，赵雪斋这些事，是西湖会的事。二人争论不休，还动了手，最后陈和尚还骨碌骨碌从桥上滚了下去。

  这一番争论我也看得糊涂，连忙回去翻前面，才知陈和尚的父亲“陈山人和甫”，确实曾经出现在莺脰湖聚会的名单中，丁言志记错了，可能刻书的也记错了，读者我也记不得了，陈和尚倒是对的。——我觉得这是极精彩而真切的一笔，普通情况下要回应前文，总是能记得明白的。但真实的情况往往是，时间过去许久了，人物来了又散，有过的事情，流传开去，慢慢地便错了、混了，也就湮灭了，该收尾了。

  并且，这一番回忆，这一番有些抒情感的内容，却是在很不体面的两个人打架中，以很不体面的骨碌碌滚下桥去的方式结束了。吴敬梓真是冷静，收得住。

  于是下一回开篇，吴敬梓便正面直接写道：“话说万历二十三年，那南京的名士都已渐渐销磨尽了。此时虞博士那一辈人，也有老了的，也有死了的，也有四散去了的，也有闭门不问世事的。花坛酒社，都没有那些才俊之人；礼乐文章，就不见那些贤人讲究。论出处，不过得手的就是才能，失意的就是愚拙；论豪侠，不过有余的就会奢华，不足的就见萧索。凭你有李杜的文章，颜曾的品行，却是也没有一个人来问你。”

  这时泰伯祠也倒了半边，破败不堪。那样的盛事和理想，终究也成一片无意义的废墟。“市井奇人”之一的盖宽和邻居老爹站在雨花台上，“望着隔江的山色，岚翠鲜明，那江中往来的船只，帆樯历历可数。那一轮红日，沉沉的傍着山头下去了。”——这是《儒林外史》中少有的不那么冷峻而抒情感比较强的地方。

  王冕为“楔子”，市井奇人为“余韵”，中间一阵热闹而终归于沉寂，这种呼应一定是精心构造的。

  2、时间

  我没有精确统计过书里的时间线，但能觉得书中弥漫着一种强烈的时间感：许多人物在这一章出场时尚是个小孩，过几章便成了大人，后来就老了，也有出场是青年，过几章便到了老年。在几句话之间，特别不经意的时候，几年、十几年、几十年就过去了，以至于开篇到结尾，隔了大概有三代人。这种日常生活琐碎间默默的、不动声色的时间流逝感，在意识到的时候往往让人一惊，随之而来的是一种潜在的“抒情性”，一种悲哀。

  由于没有更精细地读，无法举例说明这种感觉。

  3、生存方式

  文人们都漂泊着。除了慎卿少卿娄三娄四这样有些家产的，大部分文人都没有什么固定资产，他们或依附于朋友，或游走于门户之间，或者去人家家中坐馆，或入赘于某家，奔来走去，少有安定时候。记得看到蘧公孙、季苇萧娶妻时，我很是惊讶，觉得为何会如此随意——这种随意并非以现代爱情观看起来的那种父母之命的随意，而是即使“成了家”，也丝毫没有“家”的根基感，丝毫没有一个“可归之地”。钱嘛，也是到手就没，一年到头也没个积蓄，互相借来借去，给来给去。这似乎是大部分人的常态。少卿这样有家产的，最终也是漂泊南京，最后寻虞博士去了。以我们如今的生活方式想来，总觉得不可思议。如今正常的生活轨道是步步前进的，总觉得积蓄会越来越多，生活条件会越来越好，稳定的工作、稳定的住所。《儒林》里所展现的那种一整个阶层的人，全部的人生的漂泊无依，读起来总让人觉得苍凉而惶恐。

  当然还有社会方方面面是如何运作的，各阶层之间的关系、地位，涉及官场、儒林、商户，从大城市到小县城再到乡村，极为真切而完整的图景。吴敬梓对生活的观察和描述能力真是令人惊叹。

  前几日见太傅时说起《儒林》，太傅说有一位台湾大学的学者写过一篇文章他认为很好，核心点是“漂泊”，我一听觉得很中，要去搞来看看。

  该文全文在此，写得极为到位，我表示非常非常赞同：《世纪的漂泊者——论儒林外史群像》

  http://read.workercn.cn/Ebooks/T01/200612251715413293/yuedu13.html

  4、讽刺

  其刻画众生相的水平也确实堪称神妙，一切由人物、故事本身自己说话，作者不置一辞，到了最后五河县才忍不住出来吐了几句槽。众多场面，让人拍案叫绝，不再多言。许多人、许多事，如今看来，也仍能纷纷中枪倒地。

  范进中举一回确实淋漓尽致地展现了吴敬梓到底能有多刻薄。虽然后头娄三娄四见杨执中，西湖名士聚会以及高翰林谈论科举心得等等等等也都刻薄得能让人笑出声来，但范进中举这一回，真是让我有——本以为这一句已经是刻薄的极限了，没想到下一句他就又突破下限了的感脚……内心深处默默同情着这些被写的人。

  杜慎卿暴露出自己爱好男风，被季苇萧耍的那一段，之前在别的文章里见到提起过，总说是嘲讽了杜慎卿虚伪的嘴脸。自己读来，倒不怎么觉得，嘲讽是有点儿的，却也是个玩笑。我看到这里总怀疑这以后杜怎么也得和季绝交了呀，结果二人见面，却颇不忌讳地谈起此事，杜慎卿也说这个玩笑开得不错，虽然被坑了，但也觉得有趣。后来二人也常和其他朋友提起此玩笑。杜慎卿是朵奇葩，在这件事上也还是有趣为主吧，也比前面出场的其他人都要“高”。我还挺喜欢他的。

  还是想说一下周进，第一个出场的被嘲讽者。他走进贡院，号啕大哭，撞在板上的那一幕，真是激起了我心里一种由衷的难过，以至于去年读到时，差点也跟着哭出来。这一幕也让我觉得，吴敬梓是刻薄、是嘲讽，是极尽挖苦之能事，但也终究带着同情和悯人之心。

  5、食物

  没有什么像红楼梦里茄鲞啊荷叶小莲蓬汤啊那样精致可人的食物，但总也能让人留下印象。我的盆友周老板告诉我，她小时候读完儒林外史，别的不记得，单单记得马二先生吃的那一碗煨得烂熟的猪肉。马二先生游西湖那一段，两三页篇幅，吃了六、七回，也是这细节，让我觉得马二先生是个可爱的人。

  6、钱

  还有一件事儿我很想弄清楚，就是书里面钱的用法。到底多少钱能办什么事儿，多少钱能支持怎样的生活——又懒得去统计，有木有现成的论文呀？

  还想找一些考据类的文章来读，看看儒林外史和吴敬梓本人生活的联系，人物的原型什么的，应该也很有趣。

  另外，杜少卿虽也是奇人怪人，但略显玛丽苏，以至于他刚出场的时候我很不习惯，停了一阵子才继续下去。

  又，郭孝子、萧云仙以及后来那一段打仗，乱入了水浒传和西游记，凤四那一段，乱入了黄衫客。吴敬梓多面手呀。

  就写这么多吧。只读了一遍，贪快，还不是很细，写的感想也大都懒得去翻原文找证据，也懒得细写了。等以后再读，肯定还会修正旧想法，产生新想法的。

• 无文字记载的时代，如何还原当时人的生存现状？化石？DNA?

  作者：夏末 发布时间：2021-11-05 16:12:55

  

  《史记》是“二十四史”之首，是太史公司马迁穷经皓首，忍受巨大耻辱和身心折磨写下的不朽名篇。《无字史记》不同于传统的史书，它反映的多是很久很久以前还远没有文字的时候人类的生活情况，这些在以往基本是靠化石等考古证据来证实的，在有了现代科技之后，如DNA技术，才能追溯到更久远的过去，发现更多的事实和真相。

  如我们知道的我国境内最早的远古人类是云南的元谋人，接下来是北京人和山顶洞人。但这些早期古人类是否就是我们现代人类的祖先呢？一直以来凭着感情我们都以为是的。直到现代DNA检测，所有现代人类的祖先都追溯到同一位非洲女子身上--我们称之为“线粒体夏娃”。

  

  原先依据化石证据，人们认为人类起源是“多地起源说”，顾名思义，各地的人类是由当地的原始人类进化而来。但由于现代科技，现在大多数人类学家坚持“单一起源说”，即各地的现代人类的祖先均为一位非洲女子，是她的后代迁徙到了各大洲，定居下来，才有了现代人类。那么那些地方原先的古人类都哪里去了呢？没有证据证明他们有后代留下来。

  因为线粒体是传女不传男，只有在女性后代身上才能检测出来，所以最开始只检测出了女性祖先“线粒体夏娃”，后来科学家又检测出“Y染色体亚当”为所有人共同的男性祖先，也是在非洲。所以基本可以断定现代人类的祖先来自非洲，各地的原始人类不知出于何种原因都相继灭绝，后代没有生存下来。

  

  人类为了适应生存，学会了直立行走。最开始自然资源丰富的时候，人们仅靠采集和狩猎就可以维持生存。后来仅靠采集狩猎不能维持生存了，人们又创造了农业，春种秋收，有了稳定的收获量，至此人类可以过上定居生活。在天时地利人和都具备的时候，中国进入了农耕时代，为华夏文明几千年的农耕文化填上了底色。

  

  所谓的天时是指度过寒冷期的祖先们终于迎来一次较为漫长的温暖期，国际上称之为“全新世大暖期”，我国叫“仰韶温暖期”。地利是指适宜农耕的黄土高原，包括今天的山西、陕西、宁夏等地。黄土均匀、细小、松散、易碎，有机质含量高，有良好的保水性，对祖先们来说是一块宝地。人和是我们的祖先对工具的革新和对野生动物的驯化，祖先发明了耒耜，驯化了猪、狗等。这一切对于农业的发生和发展都非常有好处。所以相对于渔猎时代，这一时期的人口实现了爆炸式增长，中华大地上的人口大大增加了。

  

  我国是世界上最早的农业发源地之一，如黄河流域的粟和黍、长江流域的水稻，都有考古证据可以证明。

  《无字史记》为我们展现了依靠现代科技，即使没有文字记载，人们也可以还原古人的生活，甚至是几十万年前的远古人类的生活。为我们研究上古时代提供了一个新的工具和手段，也为我们了解古人类提供了一个新的途径，不失为一个很好的辅助手段。