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《微分几何（第五版）》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，在第四版的基础上修订而成。这次再版主要修改了第四章§4中“完备曲面的比较定理”的证明，使读者进一步学习近代比较代比较黎曼几何时，有较好的分析准备和直观的几何背景。

《微分几何（第五版）》可供高等师范院校数学院系用作教材。

第一章 曲线论

§1 向量函数

1．1 向量函数的极限

1．2 向量函数的连续性

1．3 向量函数的微商

1．4 向量函数的泰勒（Taylor）公式

1．5 向量函数的积分

§2 曲线的概念

2．1 曲线的概念

2．2 光滑曲线 曲线的正则点

2．3 曲线的切线和法平面

2．4 曲线的弧长 自然参数

§3 空间曲线

3．1 空间曲线的密切平面

3．2 空间曲线的基本三棱形

3．3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式

3．4 空间曲线在一点邻近的结构

3．5 空间曲线论的基本定理

3．6 -般螺线

第二章 曲面论

§1 曲面的概念

1．1 简单曲面及其参数表示

1．2 光滑曲面 曲面的切平面和法线

1．3 曲面上的曲线族和曲线网

§2 曲面的第一基本形式

2．1 曲面的第一基本形式 曲面上曲线的弧长

2．2 曲面上两方向的交角

2．3 正交曲线族和正交轨线

2．4 曲面域的面积

2．5 等距变换

2．6 保角变换

§3 曲面的第二基本形式

3．1 曲面的第二基本形式

3．2 曲面上曲线的曲率

3．3 迪潘（Dupin）指标线

3．4 曲面的渐近方向和共轭方向

3．5 曲面的主方向和曲率线

3．6 曲面的主曲率、高斯（Gauss）曲率和平均曲率

3．7 曲面在一点邻近的结构

3．8 高斯曲率的几何意义

§4 直纹面和可展曲面

4．1 直纹面

4．2 可展曲面

4．3 线汇

§5 曲面论的基本定理

5．1 曲面的基本方程和克里斯托费尔（Christoffel）符号

5．2 曲面的黎曼（Riemann）曲率张量和高斯一科达齐一迈因纳尔迪（Causs-Codazzi-Mainardi）公式

5．3 曲面论的基本定理

§6 曲面上的测地线

6．1 曲面上曲线的测地曲率

6．2 曲面上的测地线

6．3 曲面上的半测地坐标网

6．4 曲面上测地线的短程性

6．5 高斯一波涅（Gauss-Bonnet）公式

6．6 曲面上向量的平行移动

6．7 极小曲面

§7 常高斯曲率的曲面

7．1 常高斯曲率的曲面

7．2 伪球面

7．3 罗氏几何

第三章 外微分形式和活动标架

§1 外微分形式

1．1 格拉斯曼（Grassmann）代数

1．2 外微分形式

1．3 弗罗贝尼乌斯（Frobenius）定理

§2 活动标架

2．1 合同变换群

2．2 活动标架

2．3 活动标架法

§3 用活动标架法研究曲面

3．1 曲面论的基本定理

3．2 曲面的第一和第二基本形式

3．3 曲面上的曲线法曲率测地曲率和测地挠率

3．4 曲面的主曲率欧拉公式高斯曲率和平均曲率

3．5 曲面上向量的平行移动

3．6 闭曲面的高斯一波涅公式

……

第四章 整体微分几何初步

名词索引

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书籍介绍

《微分几何（第五版）》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材，在第四版的基础上修订而成。这次再版主要修改了第四章§4中“完备曲面的比较定理”的证明，使读者进一步学习近代比较代比较黎曼几何时，有较好的分析准备和直观的几何背景。

《微分几何（第五版）》可供高等师范院校数学院系用作教材。

• 作者： 发布时间：2021-12-30 20:05:40

  唉

• 作者：fukaya 发布时间：2021-07-21 15:36:57

  基本读完，还算是不错的古典微分几何入门书

• 作者：文化 发布时间：2021-10-25 15:55:42

  挺好的入门书，优点是容易上手，缺点是讲的比较浅。读完这本再读陈先生那本，对微分几何就能有一个初步的认识了。全书分为以下几部分。1.古典微分几何的部分简单介绍了曲线论与曲面论的基本内容，符号繁琐计算复杂。不同的符号表达式，就是不同的理解角度，有些公式没有介绍起源想法。2.外微分可以理解为微积分理论在高维空间中的推广。活动标架则把微分几何中所研究的图形嵌入到空间合同变换群中，从而得到新的研究问题的方法。3.整体微分几何就是以局部性质为基础来研究图形整体性质，这部分内容只做了初步的介绍。

• 作者：Z 发布时间：2021-08-05 22:11:19

  孙老师厉害！

  想想这些知识完完全全

  可以运用到高中的几何

  好像考了92分吧，

  记不清楚了…

• 作者：不动明龙 发布时间：2022-02-15 13:49:01

  可能是为了照顾结构，但很多引用或论点反复出现，显得繁冗，阅读体验不够流畅

• 作者：喜多路Theodore 发布时间：2022-11-14 11:08:33

  市场营销领域的“圣经”，建立正确、完整、可持续市场营销理念的经典之作。

• 独立哲人休谟

  作者：Wenqian Li 发布时间：2019-04-24 23:48:49

  李文倩

  休谟似乎是难以“定义”的。在一些人那里，休谟是不折不扣的“好人”，而在另一些人那里，休谟则是堕落的“异教徒”、“无神论者”。不仅对其个人品行评价悬殊，而且在对其职业身份的认定上，不同的人也有不同的理解。在18世纪的一般公众那里，休谟可能主要被视为历史学家，是畅销书《英国史》的作者。而在后世的专业学者尤其在哲学家那里，休谟首先被视为是一位哲学家，艾耶尔说：“虽然休谟在文学上成就斐然，包括他那部著名的《英国史》，但他首先是一位哲学家。”（《休谟》，2页）而在本文的写作中，笔者则将休谟“定义”为“哲人”；因为与后来更为职业化的“哲学家”相比较，“哲人”一词对休谟是更为适当的。

  无论是在休谟所生活的时代，还是在后来人们的眼中，在不同的人那里，“休谟”呈现出不同的面相。但就笔者而言，作为哲人的休谟，其最突出的品性在于其独立性。具体而言，就其整体思想而言，休谟独立于他所处的时代，以至于到了一两个世纪以后，人们才能比较完整地理解他的思想；就其政治理念而言，休谟独立于党派之争，并力图以一种客观公允的态度独立著史；就其学术实践而言，休谟独立于大学体制，亦独立于一般的公众意见；在以上种种“独立”之外，休谟还对宗教持一种独立的批评态度，尤其反对宗教狂热。

  《大卫·休谟传》（

  The Life of David Hume

  ）一书的作者，美国学者欧内斯特·C．莫斯纳指出：“面对这样一个事实——也即就智识而言，他要比其同时代人领先一个多世纪，休谟很难处之泰然。在努力重构他那个时代基本思想的过程中，休谟只获得了有限的成功，并受困于一连串的失败和一系列压制他的努力。”（《大卫·休谟传》，251页）休谟是生活在18世纪的哲人，但是其哲学思想被广为接受，是20世纪以后的事。在这个意义上，我们才说，休谟的思想领先于其同代人一个多世纪。这种思想上的巨大差异，让休谟在其所处的时代显得格外孤立，至少在智识的意义上是如此。

  休谟是一个苏格兰人。在英格兰人尤其是伦敦人的眼中，苏格兰人都比较“土”，并因此而倍受歧视和嘲笑。在这一点上，即便是大才如休谟，似乎亦不能例外。由此，在爱丁堡之外，巴黎是休谟所心仪、也是最欢迎休谟的城市。休谟在巴黎受到知识界，包括许多沙龙女主人的热烈欢迎和追捧，但即便如此，休谟仍然认识到，其总体思想与周边环境是格格不入的。欧内斯特·C．莫斯纳写道：“在法国，各学派旧有的亚里士多德教条主义，被一种宣扬进步之不可避免性的新教条主义所取代。因此，休谟在某种程度上必然感受到了智识上的隔膜和孤独。与法国知识分子打交道的经验强化了他早期的信念：唯有遥远的子孙后代方能理解他的哲学。”（《大卫·休谟传》，529页）在这里，休谟所谓的“怀疑主义”，至少在一个意义上，可以被视为对教条主义的批评或反对。由此，无论是旧有的亚里士多德主义，还是法国哲人所宣扬的进步主义，都因其某种程度上的教条化而被休谟所拒斥。在此意义上，我们可以说，休谟通过对种种教条主义的拒斥，从而在思想上超越了他所生活的时代。

  休谟在政治理念上的独立性，主要表现在他力图超越党争、独立著史这件事上。关于休谟的政治理念，在不同党派的人的眼中，有着不同的理解和评价。在保守派眼中，休谟是激进的，而在激进派眼中，休谟则过于保守了。休谟自己则认为，在对事件的评判上，他比较倾向于辉格党，而在对具体人物的评价方面，他则比较倾向于托利党；而他自己之所以常常被人们视为托利党，休谟认为，这是因为多数人在多数情况下都是重人不重事。

  关于辉格党与托利党之别，有学者指出：“一般而言，托利党信奉世袭的绝对君主制，认为英国政府之所以能施行统治并行使权力，完全是基于国王的特权，而辉格党则认为，在传统上，英国国王的特权一直受到民众——他们通过议会来表达自己的主张和诉求——自由权的限制。”（《卢梭与休谟——他们的时代恩怨》，30页）简言之，托利党强调王权之与政府权力的优先性，而辉格党则更强调议会对王权的限制。

  就其总体而言，在政治原则上，休谟更认同辉格党的主张，但在对具体历史人物的评价上，休谟则不囿于党派偏见，而能给出比较公允的评价，这一点尤其体现在他的历史著作中。1776年4月18日，休谟在《我的自传》一文中就此写道：“我曾想，身为历史学家而能将现世的权力、利益和权威，以及大众成见的呼声，都弃之不顾的，唯有我一人。”（转引自《大卫·休谟传》，656页）对于其历史著作，人们有不同的看法乃至争议，但休谟独立著史的意图是非常清楚的。

  在其学术道路上，休谟与大学学术体制的关系，可谓充满了爱恨纠葛。休谟曾和其父兄一样，早年曾入读爱丁堡大学，并和其父兄一样最终没有取得学位。这或许并不是因为能力不济，而是因为在当时，人们似乎并不格外看重学位；也就是说，入读大学而未获学位者，在当时并不鲜见。尽管没有取得学位，但休谟对于爱丁堡大学，还是有一份深厚的情感，以至在若干年之后，在朋友们的张罗之下，休谟曾竞聘爱丁堡大学的教授。传记作者指出：“这也许是自明之理：学者们特别愿意重返曾涵育其学术的学术团体。”（《大卫·休谟传》，169页）但是，尽管休谟学术成绩突出，却由于其在《人性论》中所表达的学术主张，对当时正统的宗教观念形成了冲击，于是，在反对派的百般阻扰之下，休谟想回母校爱丁堡大学执教的愿望，最终不得不落空了。

  在此之后，休谟还曾竞聘过格拉斯哥大学的教授，但是，和第一次一样，休谟终因各方阻力甚大而未获成功。传记作者评论道：“学院内对平庸之才的喜好再度取得了胜利。[……]苏格兰最杰出的哲学家却从未能有机会执掌一个哲学教席。”（《大卫·休谟传》，272页）休谟两次竞聘大学教授未果，一方面是由于保守的宗教势力的阻扰，另一方面，正如传记作者所评论的，大学作为一个学术机构，如果没有一种良好的运作机制，其落入庸人乐园的境地即是不可避免的。时至今日，我们也常常能够看到，一些大学在招聘人才时无异于“武大郎开店”，即凡是才华出众而又有个性者，一概不入领导者的法眼，因为他们担心才华出众者一旦入校，极有可能会抢了他们的风头，暴露出他们平庸的实质。

  人们一般认为，自康德之后，哲学开始越来越职业化，这即意味着，之后的人们要想成为一个哲学家，只能选择进入学术体制。而要想在学术体制之外取得学术上的成功，近乎是不可能的。在休谟所生活的时代，这样一种职业化的趋势虽已显出端倪，但还不是决定性的。对于休谟而言，如果能进入大学体制，对他学术发展的好处是显而易见的：一方面，他能轻而易举地获得许多学术研究所必需的资料；另一方面，大学体制所提供的保障，也能使他有足够多的闲暇以投入到学术研究之中。但是，这一切对于休谟而言，是那样的遥不可及。

  为维持生计，休谟做过各种各样的工作，到其38岁时，才第一次在经济上取得了独立。反观休谟的一生，两次竞聘大学教授未果，一方面给他带来了一定的损失，但从另一方面看，独立于大学学术体制，也让休谟有了另外一些收获。休谟一生中做过各种各样的工作，在这样一些工作的过程中，休谟有了更多的机会对人性进行观察，而这对于一位立志以研究人性科学为主业的哲人而言，无疑是不可或缺的。

  虽然身处学术体制之外，但休谟在其学术研究中，却并未过多地迎合公众意见，事实上，他对此抱有高度警惕的态度。我们知道，休谟在非常年轻的时候，即构思、撰写和出版了《人性论》一书，但是，这本书在出版之后，却几乎未能激起任何反响。公众对于此书的冷漠态度，使休谟大感沮丧，并在之后很长一段时间内，休谟都认为《人性论》一书的写作是失败的。

  在《人性论》之后，休谟撰写、出版了《道德和政治随笔》，这本书在普通读者中大受欢迎。休谟在写作上终于取得了成功。但是，面对这种成功，休谟却采取了一种克制的态度，因为意识到这种成功将使他“受到约束”，“并且很有可能就此远离严肃的学术研究时，他最终放弃了构写期刊随笔的最初想法。”（《大卫·休谟传》，154页）可见，作为一名随笔作者的休谟虽然取得了成功，但他最看重的仍然是严肃的学术研究。传记作者就此评论说：“休谟放弃写期刊随笔的另一个原因是：他不愿为了保持公众的关注而一再被迫写那些轻薄无聊的文章。休谟最浓厚、最经久不变的兴趣一直是哲学及其实际应用。”（《大卫·休谟传》，155页）

  今天，休谟当年所面临的问题与抉择，对每一个学者而言，仍然不乏启示意义。对于学者而言，这是一个格外艰难的时代，也是一个充满诱惑的时代。这里的诱惑，既有来自权力的，也有来自市场的。但是，无论如何，至少对于学者而言，我们应该认识到，严肃的学术研究或曰求真乃是第一要务。向公众传播知识，不断提高大众的文化素养，尽管也是学者的使命之一，但这毕竟不是首要的——因为传播知识的前提，是要创造出有价值的新知。学者不应只是一个既有知识的贩卖者，而应首先是一个新知的创造者。

  在休谟所生活的时代，宗教对于一般公众而言，无疑占有一种支配性的地位。在人们的心目中，如果认为某个人没有宗教信仰，那无疑即是说他道德堕落。换言之，人们根本不相信一个好人会是一个非宗教信徒。休谟不仅没有宗教信仰，而且在其著作中不断对宗教提出挑战，这不仅使其在当时饱受争议，而且正如我们已在上文所提到的，他对宗教的看法或许正是其两次竞聘大学教授失败的根本原因。艾耶尔说：“在我看来，不仅要使各种更为迷信的有神论名誉扫地，而且要使任何形式的宗教信仰都名誉扫地，这的确是休谟哲学的一个主要目标。”（《休谟》，31页）

  休谟在哲学上持有一种温和的怀疑论立场，这使其对各式各样的教条主义颇感痛心，而“对于宗教上的各种无处不在的教条主义，作为精研人性的哲学家，休谟不能不感到灰心丧气。”（《大卫·休谟传》，528页）具体而言，宗教领域内的教条主义，主要表现为两种形式，即宗教迷信和宗教狂热。有学者指出：“宗教迷信具有尊重权威的倾向，倾向于维护政府的权力。”（《派系及其治理：休谟社会政治理论研究的一个视角》，149页）在这个意义上，宗教迷信具有一种“维稳”功能。但是，无论何种形式的迷信，与其相伴随的都是愚昧，作为启蒙运动时代的哲人，休谟对其自然持一种批评态度。

  与宗教迷信相比较，休谟更为警惕宗教狂热。有学者指出：“与宗教迷信相反，宗教狂热则蔑视一切权威，形成了拥护绝对自由的派系。休谟认为，与宗教迷信形成的派系相比，这类宗教狂热派更为危险，因为他们不承认任何现实秩序的合理性，可能会使社会分裂、权威解体。”（《派系及其治理》，150页）在社会-政治领域，如何建构一个文明的社会秩序，始终是休谟最为关心的问题；而宗教狂热及其可能引发的战争，对于建立这样一个秩序，构成了根本性的挑战。在这个意义上，我们或可理解，休谟为什么对宗教持一种尖锐的批判立场。

  休谟对宗教的总体性批判，其实是对教条主义的批判。但是，正如我们在上面已指出的，休谟的怀疑论是“温和”的，这即是说，对于那些较少教条主义色彩的宗教信仰，休谟持一种宽容的态度。事实上，在其日常生活中，休谟与不少“温和派”教士结为好友，他们一起抵御来自极端“保守派”的攻击，从而将苏格兰社会带入了一个新的时代。

  在本文以上的部分中，我们大致从时代、政治、大学、公众、宗教等几个方面，指明了休谟作为一个哲人的独立品格。但是，我们这里所谓的“独立”，更多是指一种精神品格，而绝不是某种离群索居式的“孤立”，关于这二者之间的不同，我们或可从其与卢梭个性的对比中获得一个更好的理解。传记作者指出，虽然从不热衷于大型聚会，但是“大卫·休谟的亲和力，以及其作为一个文人的合群性，使他特别擅长于交际。”（《大卫·休谟传》，299页）这就与卢梭的个性形成了鲜明的对比。在人们的印象中，卢梭作为一个孤独漫步者的形象根深蒂固。

  事实上，休谟与卢梭在个性上的差异，绝不只是性格或生活方式上的差异，而更重要的是他们各自所持有的不同观念。关于这一点，在他们对城市的不同认识中，体现得格外明显。卢梭认为，“城市是人类痛苦的渊薮。”（转引自《卢梭与休谟》，33页）并且，“卢梭常常将城市里的乌烟瘴气与人们心灵的黑暗联系在一起。”（《卢梭与休谟》，156页）这即表明，在卢梭那里，城市不仅带给人类无尽的痛苦，而且腐蚀人的心灵，让人道德堕落。卢梭的这一主张，让人不禁想到中国现代作家沈从文，在后者的笔下，乡村永远是自然而美好的，而城市则往往是污秽而堕落的。在对自然的美化中，卢梭与沈从文可谓一脉相承。在这样一种卢梭式的理解中，一个本真的自我，即一个漫步乡野的、孤独深思的灵魂。而任何俗世的东西，无论是商业抑或其它，都是对这一灵魂的玷污。

  与卢梭相比较，休谟对城市有着远为积极的认识。城市的“核心”是商业，或者不如说，城市即因商业发展而来；没有商业，就无所谓真正意义上的城市。在休谟看来，商业对于促成人与人之间的联接，对于一个文明的社会秩序的形成，有着至关重要的作用。在这样一个社会中，那种卢梭式的离群索居不仅没有必要，而且也算不上什么美德。休谟说：“独身、斋戒、苦行、禁欲、克己、谦卑、沉默、孤居独处以及整套僧侣式的德性，它们缘何处处为理智健全的人们所摈弃，不正是因为它们不有助于任何一种目的，既不提高一个人在俗世的命运，也不使他成为社会中更有价值的一员，既不使他获得社交娱乐的资格，也不为他增添自娱的力量吗？”（《道德原则研究》，123页）这即是说，那套僧侣式的德性，于人于己都没什么好处。从常识的观点出发，休谟还说：“真正的离群索居可能是我们人类所能承受的最大惩罚。”（转引自《卢梭与休谟》，245页）的确，对绝大多数人而言，一个人被关“独监”是比一堆人一起蹲监狱更严厉的惩罚。

  休谟的一生，是哲人的一生，是追求独立的一生。但是，作为哲人，“终其一生，休谟都在遵从他自己的训诫：做一个哲学家，但在你所有的哲学中，你依然是一个人。”（《大卫·休谟传》，650页）在这里，作为一个人，即意味着非神亦非兽——休谟既非完美的上帝，亦非只知吃喝的兽类；“好人大卫”一生所守护的，是“人性的尊严”。

  （[美]欧内斯特·C．莫斯纳：《大卫·休谟传》，周保巍译，杭州：浙江大学出版社，2017年；[英]大卫·埃德蒙兹、约翰·艾丁诺：《卢梭与休谟——他们的时代恩怨》，周保巍、杨杰译，上海：上海人民出版社，2013年；[英]A．J．艾耶尔：《休谟》，吴宁宁、张卜天译，南京：译林出版社，2016年；[英]休谟：《道德原则研究》，曾晓平译，北京：商务印书馆，2001年；徐志国：《派系及其治理：休谟社会政治理论研究的一个视角》，《社会》2018年第1期。）

• 【砌下落梅如雪乱，拂了一身还满】

  作者：弥空之云 发布时间：2017-02-07 21:06:35

  落的是梅花不是雪花，是红非白，拂的就不知是梅还是雪了，其实明明就只有梅花，词人偏要加点雪来凑热闹，平添了许多雅致。算是我最喜欢的一句李后主的词，无端令人想起红楼梦里“芦雪庵争联即景诗”那一回里众人赏雪的情景，也是这般红的配白的，红梅和大红猩毡在白茫茫大雪地中艳得很，怪不得贾母夸人比画上还好。贴上红楼那段原文和剧照

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  一看四面粉妆银砌,忽见宝琴披着凫靥裘站在山坡上遥等,身后一个丫鬟抱着一瓶红梅。众人都笑道:"少了两个人,他却在这里等着,也弄梅花去了。"贾母喜的忙笑道:"你们瞧,这山坡上配上他的这个人品,又是这件衣裳,后头又是这梅花,象个什么?"众人都笑道:"就象老太太屋里挂的仇十洲画的<<双艳图>>。"贾母摇头笑道:"那画的那里有这件衣裳?人也不能这样好!”